e:[] 8:"$We" 13:T54c,**Etap I (1 pkt):** **1 pkt** — poprawne rozwiązanie nierówności $\Delta > 0$: $m \in (-\infty, 2) \cup \left(\frac{11}{5}, +\infty\right)$. **0 pkt** — rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Etap II (3 pkt):** **3 pkt** — rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą $m$, wynikającej z warunku $x_1^3+x_2^3>-28$: $m \in \left(2, \frac{9}{4}\right)$. **2 pkt** — zapisanie nierówności z jedną niewiadomą $m$, wynikającej z warunku $x_1^3+x_2^3>-28$ ALBO zapisanie nierówności $\left(-2-\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^3 + \left(-2+\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^3 > -28$ i poprawne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia. **1 pkt** — przekształcenie nierówności $x_1^3+x_2^3>-28$ do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète'a, np. $(x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2) > -28$ ALBO wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego w zależności od $m$. **0 pkt** — rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Etap III (1 pkt):** **1 pkt** — poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru $m$, które spełniają jednocześnie warunki $\Delta>0$ i $x_1^3+x_2^3>-28$: $m \in \left(\frac{11}{5}, \frac{9}{4}\right)$. **0 pkt** — rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.14:T433,**I etap** Trójmian kwadratowy $x^2 + 4x - \frac{m-3}{m-2}$, gdzie $m \neq 2$, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy warunek $\Delta > 0$: $$4^2 - 4 \cdot \left(-\frac{m-3}{m-2}\right) > 0$$ $$\frac{20m-44}{m-2} > 0$$ $$(20m-44)(m-2) > 0$$ $$20\left(m-\frac{11}{5}\right)(m-2) > 0$$ $$m \in (-\infty, 2) \cup \left(\frac{11}{5}, +\infty\right)$$ **II etap (Sposób I – przez wzory Viète'a)** Wyznaczamy wszystkie wartości parametru $m \neq 2$, dla których jest spełniony warunek $x_1^3 + x_2^3 > -28$, korzystając ze wzorów Viète'a: $$(x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2) > -28$$ $$-64 - 3 \cdot \left(-\frac{m-3}{m-2}\right) \cdot (-4) > -28$$ $$\frac{m-3}{m-2} < -3$$ $$(4m-9)(m-2) < 0$$ $$m \in \left(2, \frac{9}{4}\right)$$ **III etap** Wyznaczamy wszystkie wartości parametru $m \neq 2$, które jednocześnie spełniają warunki $m \in (-\infty, 2) \cup \left(\frac{11}{5}, +\infty\right)$ oraz $m \in \left(2, \frac{9}{4}\right)$: $m \in \left(\frac{11}{5}, \frac{9}{4}\right)$.15:T4df,**II etap (Sposób II – przez wyznaczenie pierwiastków)** Wyznaczamy pierwiastki $x_1, x_2$ trójmianu kwadratowego $x^2 + 4x - \frac{m-3}{m-2}$: $$x_1 = \frac{-4 - \sqrt{\frac{20m-44}{m-2}}}{2 \cdot 1} = -2 - \sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}$$ $$x_2 = \frac{-4 + \sqrt{\frac{20m-44}{m-2}}}{2 \cdot 1} = -2 + \sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}$$ Nierówność $x_1^3 + x_2^3 > -28$ możemy więc zapisać w postaci $$\left(-2 - \sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^3 + \left(-2 + \sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^3 > -28$$ Oznaczmy $\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}$ przez $p$. Wtedy $$(-2-p)^3 + (-2+p)^3 > -28$$ Korzystając ze wzoru na sześcian różnicy i sześcian sumy, otrzymujemy dalej $$(-8 - 12p - 6p^2 - p^3) + (-8 + 12p - 6p^2 + p^3) > -28$$ $$-12p^2 - 16 > -28$$ $$12p^2 - 12 < 0$$ $$p^2 - 1 < 0$$ Zatem $$\left(\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^2 - 1 < 0$$ $$\frac{5m-11}{m-2} - 1 < 0$$ $$\frac{5m-11-m+2}{m-2} < 0$$ $$\frac{4m-9}{m-2} < 0$$ $$(4m-9)(m-2) < 0$$ $$m \in \left(2, \frac{9}{4}\right)$$ Uwaga: Nierówność $(-2-p)^3+(-2+p)^3>-28$ możemy również przekształcić, korzystając ze wzoru na sumę sześcianów. Wtedy otrzymujemy $$(-2-p+(-2)+p)[(-2-p)^2-(-2-p)(-2+p)+(-2+p)^2]>-28$$ $$-4(4+4p+p^2+p^2-4+4-4p+p^2)>-28$$ $$3p^2+4<7$$ $$p^2-1<0$$

Zadanie 11 – rownania