matmaOK
Platforma do nauki matematyki na maturę
Interaktywne zadania z AI-asystentem. Ucz się z rozwiązań — nie tylko zapamiętuj, ale rozumiej.
Nowość
Egzamin wstępny
Sprawdź poziom i otrzymaj spersonalizowaną ścieżkę nauki
Teoria
Fiszki — wzory i definicje
Ucz się kluczowych wzorów, kliknij i sprawdź czy pamiętasz
AI Asystent
Bank zadań
Dział
187 zadań w bazie
Zadanie 1 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Zadanie 2 – algebra
Klient wpłacił do banku 10000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. 1200 zł B. 1236 zł C. 1836 zł D. 3600 zł
Zadanie 3 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Liczba naturalna [wzór] jest podzielna przez 20. (P/F) 2. Liczba naturalna [wzór] jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową. (P/F)
Zadanie 6 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia [wzór] dla [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej [wzór] liczba [wzór] jest podzielna przez 14.
Zadanie 8 – rownania
Dane jest równanie [wzór] gdzie [wzór] jest niewiadomą, natomiast [wzór] jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – rownania
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Rozwiązaniem równania [wzór] jest liczba A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór] Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – rownania
Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika: CENNIK BILETÓW: - Bilet normalny: 35 zł - Bilet ulgowy: 25 zł Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona następująco: [wzór] Wykres funkcji [wzór] przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] na rysunku (opis rysunku: wykres składa się z dwóch odcinków – pierwszy od punktu [wzór] do punktu [wzór] włącznie, drugi od punktu [wzór] z otwartym końcem do punktu [wzór] z otwartym końcem; punkt [wzór] jest zaznaczony jako pełny, punkt [wzór] jako pusty, punkt [wzór] jako pusty). Zadanie 12.1. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania [wzór] jest liczba ……… 2. Największa wartość funkcji [wzór] w przedziale [wzór] jest równa ……… Zadanie 12.2. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji [wzór] jest przedział ………………… 2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja [wzór] przyjmuje wartości większe od 1, jest przedział …………………
Zadanie 13 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór], gdzie [wzór] i [wzór] są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment wykresu funkcji [wzór]. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji [wzór] z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji [wzór] jest nachylony do osi [wzór] układu współrzędnych pod kątem o mierze [wzór] (opis rysunku: prosta malejąca przecina oś [wzór] w punkcie [wzór] i oś [wzór] w punkcie [wzór], kąt [wzór] jest zaznaczony między prostą a osią [wzór] w pobliżu punktu [wzór]). Zadanie 13.1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Współczynnik [wzór] we wzorze funkcji [wzór] jest liczbą dodatnią. (P/F) 2. Współczynnik [wzór] we wzorze funkcji [wzór] jest liczbą dodatnią. (P/F) Zadanie 13.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta o mierze [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] wykresem funkcji kwadratowej [wzór] jest parabola o wierzchołku w punkcie [wzór]. Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona za pomocą funkcji [wzór] wzorem [wzór]. Jednym z miejsc zerowych funkcji [wzór] jest liczba 0. Wyznacz wzór funkcji [wzór] w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 15 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny. Oblicz [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 16 – ciagi
Ciąg arytmetyczny [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór]. W tym ciągu [wzór] oraz [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dziewiąty wyraz ciągu [wzór] jest równy A. 29 B. 33 C. 34 D. 37
Zadanie 17 – ciagi
Ciąg geometryczny [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek [wzór]. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Iloczyn [wzór] jest równy ………
Zadanie 18 – trygonometria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór], w którym bok [wzór] jest przeciwprostokątną oraz [wzór] i [wzór]. Oznaczmy kąt [wzór] przez [wzór] (opis rysunku: trójkąt prostokątny z prostym kątem w wierzchołku [wzór]; pionowy bok [wzór], przeciwprostokątna [wzór], kąt [wzór] przy wierzchołku [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – planimetria
Punkty [wzór], [wzór], [wzór] oraz [wzór] leżą na okręgu o środku w punkcie [wzór]. Punkt [wzór] leży na krótszym łuku [wzór]. Kąt [wzór] ma miarę [wzór], a kąt [wzór] ma miarę [wzór] (opis rysunku: okrąg ze środkiem [wzór], punkty [wzór], [wzór], [wzór], [wzór] na okręgu; [wzór] na górze, [wzór] po lewej, [wzór] po prawej, [wzór] na dole na krótszym łuku [wzór]; zaznaczony kąt wpisany [wzór] i kąt środkowy [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
Na płaszczyźnie dane są cztery proste: [wzór], [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Proste [wzór] oraz [wzór] są równoległe. Prosta [wzór] przecina proste [wzór] oraz [wzór] w punktach – odpowiednio – [wzór] oraz [wzór]. Prosta [wzór] przecina proste [wzór] oraz [wzór] w punktach – odpowiednio – [wzór] oraz [wzór]. Odcinki [wzór] i [wzór] przecinają się w punkcie [wzór]. Ponadto [wzór], [wzór] oraz [wzór] (opis rysunku: dwie równoległe proste [wzór] i [wzór]; sieczna [wzór] przecina [wzór] w [wzór] i [wzór] w [wzór]; sieczna [wzór] przecina [wzór] w [wzór] i [wzór] w [wzór]; odcinki [wzór] i [wzór] przecinają się w [wzór]; zaznaczone długości [wzór], [wzór], [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek [wzór] ma długość A. 4 B. 9 C. 10 D. 16
Zadanie 21 – planimetria
Dany jest trójkąt [wzór], w którym [wzór] oraz [wzór]. Dwusieczna kąta [wzór] przecina bok [wzór] w punkcie [wzór] (opis rysunku: trójkąt [wzór] z wierzchołkiem [wzór] u góry; dwusieczna kąta przy [wzór] dzieli bok [wzór] w punkcie [wzór]; boki [wzór] i [wzór] są oznaczone). Wykaż, że stosunek pola trójkąta [wzór] do pola trójkąta [wzór] jest równy [wzór].
Zadanie 22 – planimetria
W okrąg [wzór] o promieniu [wzór] wpisano trójkąt równoboczny [wzór]. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Bok trójkąta [wzór] ma długość ………
Zadanie 23 – trygonometria
Kąt [wzór] jest ostry i spełnia warunek [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkty [wzór], [wzór] oraz [wzór] są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Zadanie 24.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta [wzór] jest równe A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 Zadanie 24.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Środek okręgu opisanego na trójkącie [wzór] ma współrzędne A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dany jest okrąg [wzór] o środku w punkcie [wzór] i o promieniu 5. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Punkt [wzór] leży na okręgu [wzór]. (P/F) 2. Okrąg [wzór] jest określony równaniem [wzór]. (P/F)
Zadanie 26 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dana jest prosta [wzór] o równaniu [wzór]. Prosta [wzór] jest równoległa do prostej [wzór] i przechodzi przez punkt [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta [wzór] przecina oś [wzór] w punkcie A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 27 – stereometria
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość [wzór]. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem [wzór]. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 28 – stereometria
Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – kombinatoryka
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 30 – kombinatoryka
Dane są dwa zbiory cyfr: [wzór] oraz [wzór]. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru [wzór], a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru [wzór]. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru [wzór] jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru [wzór] jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6. Zapisz obliczenia.
Zadanie 31 – kombinatoryka
Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach słupkowych przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki (opis rysunku: dwa diagramy słupkowe, na osiach poziomych oceny 1–6, na osiach pionowych liczba uczniów 0–7; klasa IV A: ocena 1 – 1 uczeń, ocena 2 – 6 uczniów, ocena 3 – 3 uczniów, ocena 4 – 3 uczniów, ocena 5 – 6 uczniów, ocena 6 – 1 uczeń; klasa IV B: ocena 1 – 1 uczeń, ocena 2 – 3 uczniów, ocena 3 – 6 uczniów, ocena 4 – 4 uczniów, ocena 5 – 3 uczniów, ocena 6 – 1 uczeń). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. (P/F) 2. Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. (P/F)
Zadanie 32 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna trzech liczb: [wzór], [wzór], [wzór], jest równa 2. Średnia arytmetyczna czterech liczb: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], jest równa 5,5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], jest równa A. 3,5 B. 3,75 C. 4 D. 4,25
Zadanie 33 – funkcje
W chwili [wzór] z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość [wzór], na której znajduje się piłeczka w danej chwili [wzór], jest określona wzorem [wzór] gdzie: - czas [wzór] jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię - wysokość [wzór] jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Zadanie 33.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili A. [wzór] s B. [wzór] s C. [wzór] s D. [wzór] s Zadanie 33.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili A. [wzór] s B. [wzór] s C. [wzór] s D. [wzór] s
Zadanie 1 – algebra
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów (zaznaczono przedział [wzór] oraz [wzór]). Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Liczba [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej [wzór] liczba [wzór] jest podzielna przez [wzór].
Zadanie 4 – algebra
Liczba [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wyrażenie [wzór] jest równe: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – rownania
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Jednym z rozwiązań równania [wzór] jest liczba: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 8 – rownania
Równanie [wzór] w zbiorze liczb rzeczywistych: A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. D. ma dokładnie dwa rozwiązania: [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 9 – rownania
Rozwiąż równanie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – funkcje
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] jednego z niżej zapisanych układów równań A–D. Na rysunku widoczne są dwie przecinające się proste: jedna malejąca przechodząca przez punkt [wzór] i [wzór], druga rosnąca przechodząca przez punkt [wzór] i punkt przecięcia ok. [wzór]. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – rownania
Dany jest prostokąt o bokach długości [wzór] i [wzór], gdzie [wzór]. Obwód tego prostokąta jest równy [wzór]. Jeden z boków prostokąta jest o [wzór] krótszy od drugiego. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór] E. [wzór] F. [wzór]
Zadanie 12 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] narysowano wykres funkcji [wzór]. Na rysunku widoczny jest wykres funkcji składający się z kilku odcinków. Funkcja zaczyna się w punkcie [wzór] (koło otwarte), następnie maleje do punktu [wzór], rośnie do punktu [wzór], dalej rośnie do punktu [wzór] (koło zamknięte), a następnie maleje do punktu [wzór]. 12.1. Dziedziną funkcji [wzór] jest zbiór: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór] 12.2. Największa wartość funkcji [wzór] w przedziale [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór] 12.3. Funkcja [wzór] jest malejąca w zbiorze: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór], gdzie [wzór] i [wzór] są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji [wzór] w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór]. Z rysunku wynika, że prosta jest malejąca i przecina oś [wzór] powyżej początku układu współrzędnych (dla [wzór] wartość [wzór]), a przecina oś [wzór] po prawej stronie początku układu współrzędnych. Liczba [wzór] oraz liczba [wzór] we wzorze funkcji [wzór] spełniają warunki: A. [wzór] i [wzór] B. [wzór] i [wzór] C. [wzór] i [wzór] D. [wzór] i [wzór]
Zadanie 14 – funkcje
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej [wzór] jest liczba [wzór]. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji [wzór], jest równa [wzór]. Drugim miejscem zerowym funkcji [wzór] jest liczba: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Wyraz [wzór] jest równy: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – ciagi
Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny. Liczba [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – ciagi
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości [wzór] zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o [wzór] zł. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.
Zadanie 18 – trygonometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] zaznaczono kąt [wzór] o wierzchołku w punkcie [wzór]. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią [wzór], a drugie przechodzi przez punkt [wzór] (kąt [wzór] mierzony od dodatniej półosi [wzór] w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara do ramienia przechodzącego przez [wzór]). Tangens kąta [wzór] jest równy: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – trygonometria
Dla każdego kąta ostrego [wzór] wyrażenie [wzór] jest równe: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
W rombie o boku długości [wzór] kąt rozwarty ma miarę [wzór]. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – planimetria
Punkty [wzór], [wzór], [wzór] leżą na okręgu o środku w punkcie [wzór]. Kąt [wzór] ma miarę [wzór] (na rysunku widoczny okrąg z zaznaczonymi punktami [wzór], [wzór], [wzór] na okręgu i środkiem [wzór], przy czym kąt [wzór] zaznaczono przy wierzchołku [wzór]). Miara kąta ostrego [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – planimetria
Trójkąty prostokątne [wzór] i [wzór] są podobne. Przyprostokątne trójkąta [wzór] mają długości [wzór] i [wzór]. Przeciwprostokątna trójkąta [wzór] ma długość [wzór]. Oblicz pole trójkąta [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 23 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dane są proste [wzór] oraz [wzór] o równaniach: [wzór] [wzór] Proste [wzór] oraz [wzór]: A. są prostopadłe B. nie są prostopadłe i przecinają się w punkcie [wzór] o współrzędnych: 1. [wzór] 2. [wzór] 3. [wzór]
Zadanie 24 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dana jest prosta [wzór] o równaniu [wzór]. Prosta o równaniu [wzór] jest równoległa do prostej [wzór] i przechodzi przez punkt [wzór], gdy: A. [wzór] i [wzór] B. [wzór] i [wzór] C. [wzór] i [wzór] D. [wzór] i [wzór]
Zadanie 25 – stereometria
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość [wzór]. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem [wzór] takim, że [wzór]. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – stereometria
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem [wzór] i ma długość równą [wzór] (rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną apotémą ściany bocznej o długości [wzór] i kątem [wzór] między apotémą a podstawą). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 27 – stereometria
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby [wzór] wszystkich wierzchołków do liczby [wzór] wszystkich krawędzi jest równy [wzór]. Podstawą tego ostrosłupa jest: A. kwadrat B. pięciokąt foremny C. sześciokąt foremny D. siedmiokąt foremny
Zadanie 28 – kombinatoryka
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry [wzór], [wzór], [wzór] (np. [wzór], [wzór]), jest: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – algebra
Na diagramie słupkowym przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach. Odczytane dane: cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepów, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy. 29.1. Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa: 29.2. Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa: A. [wzór] zł B. [wzór] zł C. [wzór] zł D. [wzór] zł E. [wzór] zł
Zadanie 30 – kombinatoryka
Ze zbioru ośmiu liczb [wzór] losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 31 – funkcje
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z [wzór] kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę [wzór] obsługiwanych klientów [wzór]-tego dnia opisuje funkcja [wzór], gdzie [wzór] jest liczbą naturalną spełniającą warunki [wzór] i [wzór]. 31.1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P — prawdziwe, F — fałszywe): - Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa [wzór]. - W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono [wzór] klientów. 31.2. Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – ciagi
W chwili początkowej ([wzór]) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej [wzór] funkcja [wzór] określa masę substancji w gramach po [wzór] pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji [wzór]. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od [wzór] grama. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2 – kombinatoryka
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe [wzór]. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 3 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Punkt [wzór] należy do wykresu funkcji [wzór]. Oblicz [wzór] oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji [wzór] w punkcie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4 – algebra
Liczby rzeczywiste [wzór] oraz [wzór] spełniają jednocześnie równanie [wzór] i nierówność [wzór]. Wykaż, że [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 5 – planimetria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór], w którym [wzór] oraz [wzór]. Punkty [wzór] i [wzór] leżą na bokach – odpowiednio – [wzór] i [wzór] tak, że [wzór] (rysunek przedstawia trójkąt prostokątny z wierzchołkiem [wzór] u góry, [wzór] na dole po lewej, [wzór] na dole po prawej; kąt przy [wzór] wynosi [wzór]; na boku [wzór] leży punkt [wzór] w odległości 1 od [wzór], na boku [wzór] leży punkt [wzór] w odległości 1 od [wzór]; [wzór] jest stopą wysokości [wzór]; odcinek [wzór] przecina wysokość [wzór] w punkcie [wzór]; [wzór]). Odcinek [wzór] przecina wysokość [wzór] tego trójkąta w punkcie [wzór], a ponadto [wzór]. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 6 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7 – stereometria
Dany jest sześcian [wzór] o krawędzi długości 6. Punkt [wzór] jest punktem przecięcia przekątnych [wzór] i [wzór] ściany bocznej [wzór] (rysunek przedstawia sześcian o krawędzi 6, gdzie [wzór] jest środkiem ściany [wzór] będącym punktem przecięcia przekątnych tej ściany). Oblicz wysokość trójkąta [wzór] poprowadzoną z punktu [wzór] na bok [wzór] tego trójkąta. Zapisz obliczenia.
Zadanie 8 – planimetria
Czworokąt [wzór], w którym [wzór] i [wzór], jest opisany na okręgu. Przekątna [wzór] tego czworokąta tworzy z bokiem [wzór] kąt o mierze [wzór], natomiast z bokiem [wzór] – kąt ostry, którego sinus jest równy [wzór]. Oblicz obwód czworokąta [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 9 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór]. Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór].
Zadanie 10 – ciagi
Określamy kwadraty [wzór] następująco: [wzór] jest kwadratem o boku długości [wzór]; [wzór] jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu [wzór] i dzieli ten bok w stosunku [wzór]; [wzór] jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu [wzór] i dzieli ten bok w stosunku [wzór]; i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej [wzór], [wzór] jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu [wzór] i dzieli ten bok w stosunku [wzór]. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej (kolejne kwadraty są wpisane w siebie z wierzchołkami dzielącymi boki poprzedniego w stosunku [wzór]). Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – rownania
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których równanie [wzór] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste [wzór] spełniające warunek [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.1 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby dodatniej [wzór]. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej [wzór] wyrażenie [wzór] można równoważnie przekształcić do postaci [wzór].
Zadanie 12.2 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby dodatniej [wzór]. Oblicz najmniejszą wartość funkcji [wzór] określonej dla każdej liczby dodatniej [wzór]. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji [wzór] można przedstawić w postaci [wzór].
Zadanie 13 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] prosta [wzór] o równaniu [wzór] przecina parabolę o równaniu [wzór] w punktach [wzór] oraz [wzór]. Odcinek [wzór] jest średnicą okręgu [wzór]. Punkt [wzór] leży na okręgu [wzór] nad prostą [wzór], a kąt [wzór] jest ostry i ma miarę [wzór] taką, że [wzór] (rysunek przedstawia układ współrzędnych z parabolą [wzór], prostą [wzór], punktami przecięcia [wzór] (niżej po lewej) i [wzór] (wyżej po prawej), okręgiem [wzór] o średnicy [wzór] oraz punktem [wzór] leżącym na okręgu nad prostą [wzór], z zaznaczonym kątem [wzór] przy wierzchołku [wzór]). Oblicz współrzędne punktu [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – ciagi
Oblicz granicę [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2 – kombinatoryka
Ze zbioru ośmiu liczb [wzór] losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez [wzór]. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 3 – algebra
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór] i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór] prawdziwa jest nierówność [wzór].
Zadanie 4 – planimetria
Punkty [wzór] i [wzór] są środkami – odpowiednio – boków [wzór] i [wzór] kwadratu [wzór] o boku długości [wzór]. Punkt [wzór] jest takim punktem na boku [wzór], że odcinki [wzór] i [wzór] są prostopadłe. Odcinek [wzór] przecina odcinki [wzór] oraz [wzór] w punktach – odpowiednio – [wzór] oraz [wzór]. Na rysunku przedstawiony jest kwadrat [wzór] z zaznaczonymi punktami: [wzór] – środek boku [wzór], [wzór] – środek boku [wzór], [wzór] – punkt na boku [wzór], [wzór] – przecięcie [wzór] z [wzór], [wzór] – przecięcie [wzór] z [wzór]. Kąt przy [wzór] pomiędzy [wzór] a [wzór] jest prosty. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 5 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 6 – ciagi
Dany jest ciąg arytmetyczny [wzór] o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od [wzór]. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy [wzór], a ostatni wyraz tego ciągu jest równy [wzór]. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 8 – stereometria
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym [wzór] podstawa [wzór] jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie [wzór] jest równa [wzór], a cosinus kąta między krawędziami bocznymi [wzór] i [wzór] jest równy [wzór]. Oblicz długość krawędzi podstawy [wzór] oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi [wzór] i [wzór] tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 9 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkty [wzór] oraz [wzór] są wierzchołkami trójkąta [wzór], w którym [wzór]. Jedno z ramion trójkąta [wzór] zawiera się w prostej o równaniu [wzór]. Na boku [wzór] tego trójkąta obrano taki punkt [wzór], że [wzór]. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie [wzór] i przechodzi przez punkt [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – funkcje
Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru [wzór], gdzie [wzór], dla których funkcja kwadratowa [wzór] określona wzorem [wzór] ma dwa różne miejsca zerowe [wzór] oraz [wzór] należące do przedziału [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – planimetria
W czworokącie [wzór] są dane: [wzór], [wzór] oraz [wzór]. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg. Na rysunku przedstawiony jest czworokąt [wzór] z wpisanym i opisanym okręgiem, gdzie wierzchołek [wzór] jest na dole po lewej stronie, [wzór] na dole po prawej, [wzór] po prawej stronie (wyżej), [wzór] na górze; kąt przy [wzór] wynosi [wzór], bok [wzór], bok [wzór]. Oblicz długości boków [wzór] i [wzór] oraz pole czworokąta [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.1 – planimetria
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości [wzór] metrów nieprzekraczającej [wzór] metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy [wzór] metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika. Na rysunku przedstawiony jest trójkąt równoramienny z podstawą [wzór] i wpisanym kołem o średnicy [wzór] (okrąg wpisany). Wykaż, że pole [wzór] (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości [wzór] metrów jest określone wzorem [wzór].
Zadanie 12.2 – pochodne
Pole [wzór] trójkątnego kwietnika o podstawie długości [wzór] metrów jest określone wzorem [wzór] dla każdego [wzór]. Wyznacz długość [wzór] podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – algebra
W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność [wzór] populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą [wzór] dla [wzór], gdzie: [wzór] – liczebność populacji w chwili [wzór] rozpoczęcia obserwacji, [wzór] – stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, [wzór] – czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili [wzór] rozpoczęcia obserwacji. W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa [wzór], a po dwóch godzinach była równa [wzór]. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2 – algebra
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór] i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór] takich, że [wzór], prawdziwa jest nierówność [wzór].
Zadanie 3 – planimetria
W trójkącie równobocznym [wzór] punkt [wzór] leży na boku [wzór]. Stosunek pola trójkąta [wzór] do pola trójkąta [wzór] jest równy [wzór]. Oblicz miarę kąta [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4 – kombinatoryka
Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.
Zadanie 5 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 6 – ciagi
Ciąg [wzór], określony dla każdej liczby naturalnej [wzór], jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu [wzór] i [wzór]. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7 – planimetria
W trapezie [wzór] o podstawach [wzór] i [wzór] punkt [wzór] jest środkiem ramienia [wzór], a punkt [wzór] jest środkiem ramienia [wzór] trapezu. Stosunek pola trapezu [wzór] do pola trapezu [wzór] jest równy [wzór]. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 8 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dane są okręgi [wzór] oraz [wzór] o równaniach: [wzór]: [wzór], [wzór]: [wzór]. Te okręgi przecinają się w punktach [wzór] oraz [wzór]. Punkt [wzór] ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt [wzór] spełnia warunek [wzór]. Oblicz współrzędne punktów [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 9 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] w przedziale [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – stereometria
Podstawą ostrosłupa [wzór] jest kwadrat [wzór]. Krawędź boczna [wzór] jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość [wzór]. Cosinus kąta [wzór] między ścianami bocznymi [wzór] i [wzór] tego ostrosłupa jest równy [wzór]. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór], gdzie [wzór] jest liczbą rzeczywistą różną od [wzór]. Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których funkcja [wzór] ma dokładnie dwa miejsca zerowe [wzór] oraz [wzór] tego samego znaku, które spełniają warunek [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.1 – stereometria
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od [wzór], a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa [wzór]. Wykaż, że objętość [wzór] stożka, jako funkcja wysokości [wzór] stożka, wyraża się wzorem [wzór].
Zadanie 12.2 – pochodne
Objętość [wzór] stożka, jako funkcja wysokości [wzór] stożka, wyraża się wzorem [wzór] dla [wzór]. Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – algebra
Dana jest nierówność [wzór]. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A. Przedział [wzór] zaznaczony jako odcinek domknięty. B. Dwa przedziały [wzór] oraz [wzór] zaznaczone jako promienie domknięte (punkty [wzór] i [wzór] wypełnione). C. Przedział [wzór] zaznaczony jako odcinek domknięty z lewej, otwarty z prawej. D. Dwa przedziały [wzór] oraz [wzór] zaznaczone jako promienie otwarte (punkty [wzór] i [wzór] puste).
Zadanie 2 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej [wzór] liczba [wzór] przy dzieleniu przez [wzór] daje resztę [wzór].
Zadanie 4 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] i dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wartość wyrażenia [wzór] jest równa wartości wyrażenia A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – rownania
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie [wzór] w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. C. ma dokładnie dwa rozwiązania: [wzór] oraz [wzór]. D. ma dokładnie trzy rozwiązania: [wzór], [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 8 – algebra
Dany jest wielomian [wzór]. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Wielomian [wzór] jest iloczynem wielomianów [wzór] i [wzór]. [P / F] 2. Liczba [wzór] jest rozwiązaniem równania [wzór]. [P / F]
Zadanie 9 – rownania
Rozwiąż równanie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – rownania
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech [wzór] oraz [wzór] oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby [wzór] drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby [wzór] drzew posadzonych w drugim sadzie, jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – funkcje
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór], przedstawiono dwie proste równoległe (obie mają ujemne nachylenie, obie rosną w kierunku lewym i opadają w prawo; jedna przecina oś [wzór] powyżej punktu [wzór], druga poniżej osi [wzór] po prawej stronie osi [wzór]), które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór], gdzie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja [wzór] jest malejąca dla każdej liczby [wzór] należącej do przedziału A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – funkcje
Funkcje liniowe [wzór] oraz [wzór], określone wzorami [wzór] oraz [wzór], mają to samo miejsce zerowe. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik [wzór] we wzorze funkcji [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14.1 – funkcje (nierówność kwadratowa)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek paraboli leży w punkcie [wzór], ramiona skierowane w dół, miejsca zerowe w punktach [wzór] i [wzór], przecięcie z osią [wzór] w punkcie [wzór]. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział ………………………
Zadanie 14.2 – funkcje (wzór funkcji kwadratowej)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek paraboli leży w punkcie [wzór], ramiona skierowane w dół, miejsca zerowe w punktach [wzór] i [wzór], przecięcie z osią [wzór] w punkcie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona wzorem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14.3 – funkcje (oś symetrii paraboli)
Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona wzorem [wzór]. Wierzchołek paraboli leży w punkcie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla funkcji [wzór] prawdziwa jest równość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14.4 – funkcje (przekształcenia wykresów)
Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona wzorem [wzór]. Funkcje kwadratowe [wzór] oraz [wzór] są określone następująco: [wzór], [wzór]. Na rysunkach A–F przedstawiono fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji [wzór] oraz fragment wykresu funkcji [wzór]. Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji [wzór] oraz [wzór] przyporządkuj fragment jej wykresu spośród oznaczonych literami A–F. Fragment wykresu funkcji [wzór] przedstawiono na rysunku: ……… Fragment wykresu funkcji [wzór] przedstawiono na rysunku: ………
Zadanie 15 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Pierwszy wyraz ciągu [wzór] jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. [P / F] 2. Wszystkie wyrazy ciągu [wzór] są dodatnie. [P / F]
Zadanie 16 – ciagi
Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest A. rosnący B. malejący oraz 1. [wzór] 2. [wzór] 3. [wzór]
Zadanie 17 – ciagi
Ciąg arytmetyczny [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy [wzór], a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa [wzór]. Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Zadanie 18 – trygonometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] zaznaczono kąt o mierze [wzór] taki, że [wzór] oraz [wzór] (kąt w drugiej ćwiartce układu współrzędnych). Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Prawdziwe są zależności: ………… oraz ………… A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór] E. [wzór] F. [wzór]
Zadanie 19 – trygonometria
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
Dany jest trójkąt [wzór], w którym [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Dwusieczna kąta [wzór] przecina bok [wzór] w punkcie [wzór] takim, że [wzór], [wzór] oraz [wzór] (rysunek przedstawia trójkąt [wzór] z dwusieczną [wzór], gdzie [wzór] jest w górze, [wzór] i [wzór] na dole, [wzór] leży na boku [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W trójkącie [wzór] prawdziwa jest równość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – planimetria
Dany jest równoległobok o bokach długości [wzór] i [wzór] oraz o kącie między nimi o mierze [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego równoległoboku jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – planimetria
W trójkącie [wzór], wpisanym w okrąg o środku w punkcie [wzór], kąt [wzór] ma miarę [wzór] (rysunek przedstawia trójkąt [wzór] wpisany w okrąg ze środkiem [wzór]; kąt [wzór] jest zaznaczony przy wierzchołku [wzór]; zaznaczony jest kąt [wzór] przy wierzchołku [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] proste [wzór] oraz [wzór] są określone równaniami: [wzór] [wzór] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste [wzór] oraz [wzór] są prostopadłe, gdy liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dany jest równoległobok [wzór], w którym [wzór] oraz [wzór]. Przekątne [wzór] oraz [wzór] tego równoległoboku przecinają się w punkcie [wzór]. Oblicz długość boku [wzór] tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Zadanie 25 – stereometria
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa [wzór]. Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe [wzór]. Zadanie 25.1. (0–1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór] Zadanie 25.2. (0–1) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku A. Rysunek A – kąt między najdłuższą przekątną (łączącą wierzchołki przeciwległych podstaw przez środek) a podstawą dolną, kąt zaznaczony przy dolnym końcu przekątnej na podstawie. B. Rysunek B – kąt między przekątną a podstawą, zaznaczony przy dolnym wierzchołku bocznym. C. Rysunek C – kąt między przekątną a podstawą, zaznaczony przy dolnym wierzchołku po lewej stronie. D. Rysunek D – kąt między przekątną a podstawą, zaznaczony przy dolnym wierzchołku po prawej stronie.
Zadanie 26 – stereometria
Ostrosłup [wzór] jest podobny do ostrosłupa [wzór]. Objętość ostrosłupa [wzór] jest równa [wzór]. Objętość ostrosłupa [wzór] jest równa [wzór]. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa [wzór] do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa [wzór] jest równy ………
Zadanie 27 – kombinatoryka
Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr [wzór], przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich takich kodów jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 28 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna trzech liczb: [wzór], [wzór], [wzór], jest równa [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: [wzór], jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – kombinatoryka
Na diagramie słupkowym przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny (1, 2, 3, 4, 5, 6), które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Z diagramu odczytujemy: ocena 1 – 2 uczniów, ocena 2 – 7 uczniów, ocena 3 – 4 uczniów, ocena 4 – 3 uczniów, ocena 5 – 6 uczniów, ocena 6 – 4 uczniów. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 30 – kombinatoryka
Dany jest pięcioelementowy zbiór [wzór]. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru [wzór] losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.
Zadanie 31 – funkcje
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć [wzór] metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry): trzy prostokąty ustawione obok siebie w rzędzie, każdy o szerokości [wzór] i wysokości [wzór], ze wspólnymi ścianami wewnętrznymi. Łącznie tworzą jeden duży prostokąt o wymiarach [wzór]. Siatka biegnie wzdłuż całego obwodu zewnętrznego oraz dwóch ścianek wewnętrznych (pionowych). Oblicz wymiary [wzór] oraz [wzór] jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – funkcje
W chwili początkowej ([wzór]) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa [wzór]. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa [wzór]. Temperatura [wzór] tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością [wzór] dla [wzór], gdzie: [wzór] – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, [wzór] – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej, [wzór] – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, [wzór] – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza, [wzór] – stała charakterystyczna dla danej cieczy. Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury [wzór]. Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2 – funkcje
Oblicz granicę [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 3 – kombinatoryka
W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe [wzór]. Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań ze śmietaną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkt [wzór], o pierwszej współrzędnej równej [wzór], należy do wykresu funkcji [wzór]. Prosta o równaniu [wzór] jest styczna do wykresu funkcji [wzór] w punkcie [wzór]. Oblicz współczynniki [wzór] oraz [wzór] w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 5 – algebra
Wykaż, że jeżeli [wzór] oraz [wzór], to [wzór].
Zadanie 6 – kombinatoryka
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7 – ciagi
Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa [wzór]. Liczby [wzór], [wzór] oraz [wzór] są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego [wzór], określonego dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Oblicz [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 8 – planimetria
Dany jest trójkąt [wzór], który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta [wzór] jest dwa razy większa od miary kąta [wzór]. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek [wzór].
Zadanie 9 – planimetria
Dany jest kwadrat [wzór] o boku długości [wzór]. Punkt [wzór] jest środkiem boku [wzór]. Przekątna [wzór] dzieli trójkąt [wzór] na dwie figury: [wzór] oraz [wzór] (rysunek przedstawia kwadrat [wzór] z wierzchołkami: [wzór] w lewym górnym rogu, [wzór] w górnym środku, [wzór] w prawym górnym rogu, [wzór] w lewym dolnym rogu, [wzór] w prawym dolnym rogu; zaznaczony jest trójkąt [wzór] oraz przekątna [wzór]; [wzór] to punkt przecięcia odcinka [wzór] z przekątną [wzór], [wzór] to punkt przecięcia odcinka [wzór] z przekątną [wzór]; długość boku kwadratu oznaczono [wzór]). Oblicz pola figur [wzór] oraz [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] w zbiorze [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] środek [wzór] okręgu o promieniu [wzór] leży na prostej o równaniu [wzór]. Przez punkt [wzór], którego odległość od punktu [wzór] jest większa od [wzór], poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – [wzór] i [wzór]. Pole czworokąta [wzór] jest równe [wzór]. Oblicz współrzędne punktu [wzór]. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12 – rownania
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których równanie [wzór] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste [wzór], [wzór] spełniające warunek [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 13.1 – stereometria
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości [wzór], których krawędź podstawy ma długość nie większą niż [wzór]. Wykaż, że pole [wzór] powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości [wzór] krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem [wzór].
Zadanie 13.2 – stereometria
Pole [wzór] powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości [wzór] krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem [wzór] dla [wzór]. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. 16 B. 18 C. 30 D. 34
Zadanie 2 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. 30 B. 31 C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. 3 B. 9 C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wartość wyrażenia [wzór] jest równa wartości wyrażenia A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej [wzór] liczba [wzór] jest podzielna przez [wzór].
Zadanie 6 – rownania
Dana jest nierówność [wzór] Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A. Zaznaczony przedział [wzór] z zaznaczonym punktem 3 (domknięty) na osi liczbowej, widoczne punkty 0, 1, 3. B. Zaznaczony przedział [wzór] z zaznaczonym punktem 3 (domknięty) na osi liczbowej, widoczne punkty 0, 1, 3. C. Zaznaczony przedział [wzór] z zaznaczonym punktem -9 (domknięty) na osi liczbowej, widoczne punkty -9, 0, 1. D. Zaznaczony przedział [wzór] z zaznaczonym punktem -9 (domknięty) na osi liczbowej, widoczne punkty -9, 0, 1.
Zadanie 7 – rownania
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie [wzór] w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania: [wzór] oraz [wzór]. B. dwa rozwiązania: [wzór] oraz [wzór]. C. trzy rozwiązania: [wzór], [wzór] oraz [wzór]. D. cztery rozwiązania: [wzór], [wzór], [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 8 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] różnej od [wzór] oraz różnej od [wzór] wartość wyrażenia [wzór] jest równa wartości wyrażenia A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – algebra
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę [wzór] złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie [wzór] złotych – zespół A wykorzystał [wzór] przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał [wzór] przyznanych mu środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór] Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona następująco: [wzór] Wykres funkcji [wzór] przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] na rysunku. Wykres składa się z trzech części: odcinka rosnącego od punktu [wzór] (domkniętego) do punktu [wzór] (domkniętego), poziomego odcinka na wysokości [wzór] dla [wzór] (lewy koniec otwarty, prawy domknięty), oraz odcinka malejącego od punktu [wzór] (domkniętego) do punktu [wzór] (otwartego). Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji [wzór] jest przedział …………………… 2. Zbiorem wartości funkcji [wzór] jest przedział …………………… 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja [wzór] przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …………………… 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania [wzór] jest przedział ……………………
Zadanie 12.1 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne [wzór]. Ta parabola przecina oś [wzór] w punkcie o współrzędnych [wzór]. Wyznacz wzór funkcji [wzór] w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.2 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne [wzór]. Ta parabola przecina oś [wzór] w punkcie o współrzędnych [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji [wzór] jest prosta o równaniu A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12.3 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne [wzór]. Ta parabola przecina oś [wzór] w punkcie o współrzędnych [wzór]. Funkcja [wzór] jest określona dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wzorem [wzór]. Liczby [wzór] oraz [wzór] są różnymi miejscami zerowymi funkcji [wzór]. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Suma [wzór] jest równa ………
Zadanie 13 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja [wzór] nie ma miejsca zerowego dla [wzór] równego A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14.1 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony następująco: [wzór] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzeci wyraz ciągu [wzór] jest równy A. 4 B. 5 C. 7 D. 11
Zadanie 14.2 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony następująco: [wzór] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Ciąg [wzór] jest arytmetyczny. [P / F] 2. Ciąg [wzór] jest geometryczny. [P / F]
Zadanie 15 – ciagi
Wyznacz wartość [wzór], dla której trzywyrazowy ciąg [wzór] jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.
Zadanie 16 – ciagi
Dany jest ciąg geometryczny [wzór] określony dla każdej liczby naturalnej [wzór], w którym [wzór] oraz [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Czwarty wyraz ciągu [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – trygonometria
Kąt [wzór] jest ostry i spełnia warunek [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18.1 – trygonometria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór], w którym bok [wzór] jest przeciwprostokątną, przyprostokątna [wzór] ma długość [wzór], a środkowa [wzór] ma długość [wzór]. Punkt [wzór] jest środkiem boku [wzór]. Oznaczmy kąt [wzór] przez [wzór], natomiast kąt [wzór] – przez [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18.2 – trygonometria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór], w którym bok [wzór] jest przeciwprostokątną, przyprostokątna [wzór] ma długość [wzór], a środkowa [wzór] ma długość [wzór]. Punkt [wzór] jest środkiem boku [wzór]. Oznaczmy kąt [wzór] przez [wzór], natomiast kąt [wzór] – przez [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – planimetria
Punkty [wzór], [wzór] oraz [wzór] leżą na okręgu o środku w punkcie [wzór]. Miara kąta [wzór] jest równa [wzór]. Na rysunku przedstawiono okrąg ze środkiem [wzór], na którym leżą punkty [wzór], [wzór], [wzór]; kąt [wzór] jest zaznaczony przy wierzchołku [wzór], zaznaczony jest również kąt [wzór] przy wierzchołku [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
W trójkącie równoramiennym [wzór] dane są: [wzór] i [wzór]. Na boku [wzór], między punktami [wzór] i [wzór], wybrano taki punkt [wzór], że trójkąty [wzór] i [wzór] są podobne. Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny [wzór] z podstawą [wzór] i ramionami [wzór], z punktem [wzór] na boku [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek [wzór] ma długość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – planimetria
Dany jest trójkąt [wzór], w którym [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Trójkąt [wzór] jest równoramienny. [P / F] 2. Pole trójkąta [wzór] jest równe [wzór]. [P / F]
Zadanie 22 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dany jest kwadrat [wzór], w którym [wzór]. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przekątna kwadratu [wzór] ma długość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] proste [wzór] oraz [wzór] są określone równaniami [wzór] [wzór] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste [wzór] oraz [wzór] są równoległe, gdy liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkt [wzór] leży na okręgu [wzór] o środku w punkcie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg [wzór] jest określony równaniem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – stereometria
Tworząca stożka ma długość [wzór]. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę [wzór]. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Zadanie 26 – stereometria
Objętość sześcianu jest równa [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 27 – kombinatoryka
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra [wzór], jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 28 – kombinatoryka
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie [wzór] polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: [wzór], jest równa [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 30 – kombinatoryka
Na diagramie słupkowym przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej [wzór] uczniów. Na osi poziomej podano oceny (1, 2, 3, 4, 5, 6), które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Na podstawie diagramu: ocenę 1 dostał 1 uczeń, ocenę 2 – 3 uczniów, ocenę 3 – 4 uczniów, ocenę 4 – 4 uczniów, ocenę 5 – 5 uczniów, ocenę 6 – 7 uczniów. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ………… 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa …………
Zadanie 31 – stereometria
Rozważamy wszystkie prostopadłościany [wzór], w których krawędź [wzór] ma długość [wzór] oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka [wzór] jest równa [wzór]. Na rysunku przedstawiono prostopadłościan [wzór] z zaznaczoną krawędzią [wzór] i krawędzią [wzór]. Niech [wzór] oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości [wzór] krawędzi [wzór]. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji [wzór]. Oblicz długość [wzór] krawędzi [wzór] tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.