matmaOK
Platforma do nauki matematyki na maturę
Interaktywne zadania z AI-asystentem. Ucz się z rozwiązań — nie tylko zapamiętuj, ale rozumiej.
Nowość
Egzamin wstępny
Sprawdź poziom i otrzymaj spersonalizowaną ścieżkę nauki
Teoria
Fiszki — wzory i definicje
Ucz się kluczowych wzorów, kliknij i sprawdź czy pamiętasz
Z ebooka · 20 zadań
Najłatwiejsze zadania maturalne
Interaktywna wersja testu — sprawdzanie odpowiedzi i podpowiedzi AI
Słownik
Co znaczy to pojęcie?
Definicje pojęć z treści zadań — i co z nich wynika przy rozwiązywaniu
Zadania dodatkowe
AI Asystent
Bank zadań
Dział
590 zadań w bazie
Zadanie 1 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Zadanie 2 – algebra
Klient wpłacił do banku 10000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. 1200 zł B. 1236 zł C. 1836 zł D. 3600 zł
Zadanie 3 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Liczba naturalna [wzór] jest podzielna przez 20. (P/F) 2. Liczba naturalna [wzór] jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową. (P/F)
Zadanie 6 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia [wzór] dla [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej [wzór] liczba [wzór] jest podzielna przez 14.
Zadanie 8 – rownania
Dane jest równanie [wzór] gdzie [wzór] jest niewiadomą, natomiast [wzór] jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – rownania
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Rozwiązaniem równania [wzór] jest liczba A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór] Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – rownania
Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika: CENNIK BILETÓW: - Bilet normalny: 35 zł - Bilet ulgowy: 25 zł Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów. Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł. Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona następująco: [wzór] Wykres funkcji [wzór] przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] na rysunku (opis rysunku: wykres składa się z dwóch odcinków – pierwszy od punktu [wzór] do punktu [wzór] włącznie, drugi od punktu [wzór] z otwartym końcem do punktu [wzór] z otwartym końcem; punkt [wzór] jest zaznaczony jako pełny, punkt [wzór] jako pusty, punkt [wzór] jako pusty). Zadanie 12.1. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Rozwiązaniem równania [wzór] jest liczba ……… 2. Największa wartość funkcji [wzór] w przedziale [wzór] jest równa ……… Zadanie 12.2. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Zbiorem wartości funkcji [wzór] jest przedział ………………… 2. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja [wzór] przyjmuje wartości większe od 1, jest przedział …………………
Zadanie 13.1 – funkcje (współczynniki funkcji liniowej)
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór], gdzie [wzór] i [wzór] są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment wykresu funkcji [wzór]. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji [wzór] z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji [wzór] jest nachylony do osi [wzór] układu współrzędnych pod kątem o mierze [wzór] (opis rysunku: prosta malejąca przecina oś [wzór] w punkcie [wzór] i oś [wzór] w punkcie [wzór], kąt [wzór] jest zaznaczony między prostą a dodatnim kierunkiem osi [wzór] w punkcie [wzór]). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Współczynnik [wzór] we wzorze funkcji [wzór] jest liczbą dodatnią. (P/F) 2. Współczynnik [wzór] we wzorze funkcji [wzór] jest liczbą dodatnią. (P/F)
Zadanie 13.2 – funkcje (tangens kąta nachylenia)
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór], gdzie [wzór] i [wzór] są pewnymi liczbami rzeczywistymi. W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment wykresu funkcji [wzór]. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji [wzór] z osiami układu współrzędnych ma obie współrzędne całkowite. Wykres funkcji [wzór] jest nachylony do osi [wzór] układu współrzędnych pod kątem o mierze [wzór] (opis rysunku: prosta malejąca przecina oś [wzór] w punkcie [wzór] i oś [wzór] w punkcie [wzór], kąt [wzór] jest zaznaczony między prostą a dodatnim kierunkiem osi [wzór] w punkcie [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta o mierze [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] wykresem funkcji kwadratowej [wzór] jest parabola o wierzchołku w punkcie [wzór]. Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona za pomocą funkcji [wzór] wzorem [wzór]. Jednym z miejsc zerowych funkcji [wzór] jest liczba 0. Wyznacz wzór funkcji [wzór] w postaci ogólnej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 15 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny. Oblicz [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 16 – ciagi
Ciąg arytmetyczny [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór]. W tym ciągu [wzór] oraz [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dziewiąty wyraz ciągu [wzór] jest równy A. 29 B. 33 C. 34 D. 37
Zadanie 17 – ciagi
Ciąg geometryczny [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu spełniają warunek [wzór]. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Iloczyn [wzór] jest równy ………
Zadanie 18 – trygonometria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór], w którym bok [wzór] jest przeciwprostokątną oraz [wzór] i [wzór]. Oznaczmy kąt [wzór] przez [wzór] (opis rysunku: trójkąt prostokątny z prostym kątem w wierzchołku [wzór]; pionowy bok [wzór], przeciwprostokątna [wzór], kąt [wzór] przy wierzchołku [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – planimetria
Punkty [wzór], [wzór], [wzór] oraz [wzór] leżą na okręgu o środku w punkcie [wzór]. Punkt [wzór] leży na krótszym łuku [wzór]. Kąt [wzór] ma miarę [wzór], a kąt [wzór] ma miarę [wzór] (opis rysunku: okrąg ze środkiem [wzór], punkty [wzór], [wzór], [wzór], [wzór] na okręgu; [wzór] na górze, [wzór] po lewej, [wzór] po prawej, [wzór] na dole na krótszym łuku [wzór]; zaznaczony kąt wpisany [wzór] i kąt środkowy [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
Na płaszczyźnie dane są cztery proste: [wzór], [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Proste [wzór] oraz [wzór] są równoległe. Prosta [wzór] przecina proste [wzór] oraz [wzór] w punktach – odpowiednio – [wzór] oraz [wzór]. Prosta [wzór] przecina proste [wzór] oraz [wzór] w punktach – odpowiednio – [wzór] oraz [wzór]. Odcinki [wzór] i [wzór] przecinają się w punkcie [wzór]. Ponadto [wzór], [wzór] oraz [wzór] (opis rysunku: dwie równoległe proste [wzór] i [wzór]; sieczna [wzór] przecina [wzór] w [wzór] i [wzór] w [wzór]; sieczna [wzór] przecina [wzór] w [wzór] i [wzór] w [wzór]; odcinki [wzór] i [wzór] przecinają się w [wzór]; zaznaczone długości [wzór], [wzór], [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek [wzór] ma długość A. 4 B. 9 C. 10 D. 16
Zadanie 21 – planimetria
Dany jest trójkąt [wzór], w którym [wzór] oraz [wzór]. Dwusieczna kąta [wzór] przecina bok [wzór] w punkcie [wzór] (opis rysunku: trójkąt [wzór] z wierzchołkiem [wzór] u góry; dwusieczna kąta przy [wzór] dzieli bok [wzór] w punkcie [wzór]; boki [wzór] i [wzór] są oznaczone). Wykaż, że stosunek pola trójkąta [wzór] do pola trójkąta [wzór] jest równy [wzór].
Zadanie 22 – planimetria
W okrąg [wzór] o promieniu [wzór] wpisano trójkąt równoboczny [wzór]. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Bok trójkąta [wzór] ma długość ………
Zadanie 23 – trygonometria
Kąt [wzór] jest ostry i spełnia warunek [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24.1 – planimetria (pole trójkąta prostokątnego)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkty [wzór], [wzór] oraz [wzór] są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta [wzór] jest równe A. 3 B. 5 C. 6 D. 10
Zadanie 24.2 – planimetria (środek okręgu opisanego)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkty [wzór], [wzór] oraz [wzór] są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Środek okręgu opisanego na trójkącie [wzór] ma współrzędne A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dany jest okrąg [wzór] o środku w punkcie [wzór] i o promieniu 5. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Punkt [wzór] leży na okręgu [wzór]. (P/F) 2. Okrąg [wzór] jest określony równaniem [wzór]. (P/F)
Zadanie 26 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dana jest prosta [wzór] o równaniu [wzór]. Prosta [wzór] jest równoległa do prostej [wzór] i przechodzi przez punkt [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta [wzór] przecina oś [wzór] w punkcie A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 27 – stereometria
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość [wzór]. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem [wzór]. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 28 – stereometria
Stożek i walec mają równe wysokości. Promień podstawy stożka jest dwa razy większy od promienia podstawy walca. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Stosunek objętości stożka do objętości walca jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – kombinatoryka
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (np.: 321, 555), jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 30 – kombinatoryka
Dane są dwa zbiory cyfr: [wzór] oraz [wzór]. Losujemy jedną cyfrę ze zbioru [wzór], a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru [wzór]. Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru [wzór] jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru [wzór] jest cyfrą jedności tej liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6. Zapisz obliczenia.
Zadanie 31 – kombinatoryka
Nauczyciel matematyki po każdym sprawdzianie porównuje wyniki uzyskane przez uczniów dwóch klas: klasy IV A oraz klasy IV B. Na dwóch poniższych diagramach słupkowych przedstawiono wyniki sprawdzianu ze statystyki (opis rysunku: dwa diagramy słupkowe, na osiach poziomych oceny 1–6, na osiach pionowych liczba uczniów 0–7; klasa IV A: ocena 1 – 1 uczeń, ocena 2 – 6 uczniów, ocena 3 – 3 uczniów, ocena 4 – 3 uczniów, ocena 5 – 6 uczniów, ocena 6 – 1 uczeń; klasa IV B: ocena 1 – 1 uczeń, ocena 2 – 3 uczniów, ocena 3 – 6 uczniów, ocena 4 – 6 uczniów, ocena 5 – 3 uczniów, ocena 6 – 1 uczeń). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa średniej arytmetycznej ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. (P/F) 2. Mediana ocen uzyskanych ze sprawdzianu ze statystyki przez uczniów klasy IV A jest równa medianie ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów klasy IV B. (P/F)
Zadanie 32 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna trzech liczb: [wzór], [wzór], [wzór], jest równa 2. Średnia arytmetyczna czterech liczb: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], jest równa 5,5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], jest równa A. 3,5 B. 3,75 C. 4 D. 4,25
Zadanie 33.1 – funkcje (miejsce zerowe w kontekście fizycznym)
W chwili [wzór] z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość [wzór], na której znajduje się piłeczka w danej chwili [wzór], jest określona wzorem [wzór] gdzie: - czas [wzór] jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię - wysokość [wzór] jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka po raz pierwszy uderzy w ziemię w chwili A. [wzór] s B. [wzór] s C. [wzór] s D. [wzór] s
Zadanie 33.2 – funkcje (wierzchołek paraboli w kontekście fizycznym)
W chwili [wzór] z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość [wzór], na której znajduje się piłeczka w danej chwili [wzór], jest określona wzorem [wzór] gdzie: - czas [wzór] jest wyrażony w sekundach (s) i zmienia się od 0 do chwili pierwszego uderzenia piłeczki o ziemię - wysokość [wzór] jest wyrażona w metrach i jest liczona względem poziomu ziemi. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili A. [wzór] s B. [wzór] s C. [wzór] s D. [wzór] s
Zadanie 1 – algebra
Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów (zaznaczono przedział [wzór] oraz [wzór]). Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Liczba [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej [wzór] liczba [wzór] jest podzielna przez [wzór].
Zadanie 4 – algebra
Liczba [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wyrażenie [wzór] jest równe: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – rownania
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Jednym z rozwiązań równania [wzór] jest liczba: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 8 – rownania
Równanie [wzór] w zbiorze liczb rzeczywistych: A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. D. ma dokładnie dwa rozwiązania: [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 9 – rownania
Rozwiąż równanie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – funkcje
Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] jednego z niżej zapisanych układów równań A–D. Na rysunku widoczne są dwie przecinające się proste: jedna malejąca przechodząca przez punkt [wzór] i [wzór], druga rosnąca przechodząca przez punkt [wzór] i punkt przecięcia ok. [wzór]. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – rownania
Dany jest prostokąt o bokach długości [wzór] i [wzór], gdzie [wzór]. Obwód tego prostokąta jest równy [wzór]. Jeden z boków prostokąta jest o [wzór] krótszy od drugiego. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór] E. [wzór] F. [wzór]
Zadanie 12.1 – funkcje (dziedzina z wykresu)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] narysowano wykres funkcji [wzór] (opis rysunku: odcinek poziomy od punktu [wzór] — koło zamknięte — do punktu [wzór] — koło otwarte; odcinek rosnący od punktu [wzór] — koło zamknięte — do punktu [wzór] — koło zamknięte; łamana od punktu [wzór] — koło otwarte — poziomo do punktu [wzór], a dalej malejąco do punktu [wzór] — koło zamknięte). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dziedziną funkcji [wzór] jest zbiór A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12.2 – funkcje (największa wartość w przedziale)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] narysowano wykres funkcji [wzór] (opis rysunku: odcinek poziomy od punktu [wzór] — koło zamknięte — do punktu [wzór] — koło otwarte; odcinek rosnący od punktu [wzór] — koło zamknięte — do punktu [wzór] — koło zamknięte; łamana od punktu [wzór] — koło otwarte — poziomo do punktu [wzór], a dalej malejąco do punktu [wzór] — koło zamknięte). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największa wartość funkcji [wzór] w przedziale [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12.3 – funkcje (przedział monotoniczności)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] narysowano wykres funkcji [wzór] (opis rysunku: odcinek poziomy od punktu [wzór] — koło zamknięte — do punktu [wzór] — koło otwarte; odcinek rosnący od punktu [wzór] — koło zamknięte — do punktu [wzór] — koło zamknięte; łamana od punktu [wzór] — koło otwarte — poziomo do punktu [wzór], a dalej malejąco do punktu [wzór] — koło zamknięte). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja [wzór] jest malejąca w zbiorze A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór], gdzie [wzór] i [wzór] są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji [wzór] w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór]. Z rysunku wynika, że prosta jest malejąca i przecina oś [wzór] powyżej początku układu współrzędnych (dla [wzór] wartość [wzór]), a przecina oś [wzór] po prawej stronie początku układu współrzędnych. Liczba [wzór] oraz liczba [wzór] we wzorze funkcji [wzór] spełniają warunki: A. [wzór] i [wzór] B. [wzór] i [wzór] C. [wzór] i [wzór] D. [wzór] i [wzór]
Zadanie 14 – funkcje
Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej [wzór] jest liczba [wzór]. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji [wzór], jest równa [wzór]. Drugim miejscem zerowym funkcji [wzór] jest liczba: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Wyraz [wzór] jest równy: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – ciagi
Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny. Liczba [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – ciagi
Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości [wzór] zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o [wzór] zł. Oblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.
Zadanie 18 – trygonometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] zaznaczono kąt [wzór] o wierzchołku w punkcie [wzór]. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią [wzór], a drugie przechodzi przez punkt [wzór] (kąt [wzór] mierzony od dodatniej półosi [wzór] w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara do ramienia przechodzącego przez [wzór]). Tangens kąta [wzór] jest równy: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – trygonometria
Dla każdego kąta ostrego [wzór] wyrażenie [wzór] jest równe: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
W rombie o boku długości [wzór] kąt rozwarty ma miarę [wzór]. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – planimetria
Punkty [wzór], [wzór], [wzór] leżą na okręgu o środku w punkcie [wzór]. Kąt [wzór] ma miarę [wzór] (na rysunku widoczny okrąg z zaznaczonymi punktami [wzór], [wzór], [wzór] na okręgu i środkiem [wzór], przy czym kąt [wzór] zaznaczono przy wierzchołku [wzór]). Miara kąta ostrego [wzór] jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – planimetria
Trójkąty prostokątne [wzór] i [wzór] są podobne. Przyprostokątne trójkąta [wzór] mają długości [wzór] i [wzór]. Przeciwprostokątna trójkąta [wzór] ma długość [wzór]. Oblicz pole trójkąta [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 23 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dane są proste [wzór] oraz [wzór] o równaniach: [wzór] [wzór] Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Proste [wzór] oraz [wzór] A. są prostopadłe B. nie są prostopadłe oraz przecinają się w punkcie [wzór] o współrzędnych 1. [wzór] 2. [wzór] 3. [wzór]
Zadanie 24 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dana jest prosta [wzór] o równaniu [wzór]. Prosta o równaniu [wzór] jest równoległa do prostej [wzór] i przechodzi przez punkt [wzór], gdy: A. [wzór] i [wzór] B. [wzór] i [wzór] C. [wzór] i [wzór] D. [wzór] i [wzór]
Zadanie 25 – stereometria
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość [wzór]. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem [wzór] takim, że [wzór]. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – stereometria
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem [wzór] i ma długość równą [wzór] (rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny z zaznaczoną apotémą ściany bocznej o długości [wzór] i kątem [wzór] między apotémą a podstawą). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 27 – stereometria
W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby [wzór] wszystkich wierzchołków do liczby [wzór] wszystkich krawędzi jest równy [wzór]. Podstawą tego ostrosłupa jest: A. kwadrat B. pięciokąt foremny C. sześciokąt foremny D. siedmiokąt foremny
Zadanie 28 – kombinatoryka
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry [wzór], [wzór], [wzór] (np. [wzór], [wzór]), jest: A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29.1 – statystyka (mediana z diagramu)
Na diagramie słupkowym przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach. Odczytane dane: cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepów, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy. Uzupełnij zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród oznaczonych literami A–E. Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa A. [wzór] zł B. [wzór] zł C. [wzór] zł D. [wzór] zł E. [wzór] zł
Zadanie 29.2 – statystyka (średnia z diagramu)
Na diagramie słupkowym przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach. Odczytane dane: cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy, cena [wzór] zł — [wzór] sklepów, cena [wzór] zł — [wzór] sklepy. Uzupełnij zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród oznaczonych literami A–E. Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa A. [wzór] zł B. [wzór] zł C. [wzór] zł D. [wzór] zł E. [wzór] zł
Zadanie 30 – kombinatoryka
Ze zbioru ośmiu liczb [wzór] losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 31 – funkcje
Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z [wzór] kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę [wzór] obsługiwanych klientów [wzór]-tego dnia opisuje funkcja [wzór], gdzie [wzór] jest liczbą naturalną spełniającą warunki [wzór] i [wzór]. 31.1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń (P — prawdziwe, F — fałszywe): - Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa [wzór]. - W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono [wzór] klientów. 31.2. Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – ciagi
W chwili początkowej ([wzór]) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej [wzór] funkcja [wzór] określa masę substancji w gramach po [wzór] pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji [wzór]. Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od [wzór] grama. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2 – kombinatoryka
Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe [wzór]. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 3 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Punkt [wzór] należy do wykresu funkcji [wzór]. Oblicz [wzór] oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji [wzór] w punkcie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4 – algebra
Liczby rzeczywiste [wzór] oraz [wzór] spełniają jednocześnie równanie [wzór] i nierówność [wzór]. Wykaż, że [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 5 – planimetria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór], w którym [wzór] oraz [wzór]. Punkty [wzór] i [wzór] leżą na bokach – odpowiednio – [wzór] i [wzór] tak, że [wzór] (rysunek przedstawia trójkąt prostokątny z wierzchołkiem [wzór] u góry, [wzór] na dole po lewej, [wzór] na dole po prawej; kąt przy [wzór] wynosi [wzór]; na boku [wzór] leży punkt [wzór] w odległości 1 od [wzór], na boku [wzór] leży punkt [wzór] w odległości 1 od [wzór]; [wzór] jest stopą wysokości [wzór]; odcinek [wzór] przecina wysokość [wzór] w punkcie [wzór]; [wzór]). Odcinek [wzór] przecina wysokość [wzór] tego trójkąta w punkcie [wzór], a ponadto [wzór]. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 6 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7 – stereometria
Dany jest sześcian [wzór] o krawędzi długości 6. Punkt [wzór] jest punktem przecięcia przekątnych [wzór] i [wzór] ściany bocznej [wzór] (rysunek przedstawia sześcian o krawędzi 6, gdzie [wzór] jest środkiem ściany [wzór] będącym punktem przecięcia przekątnych tej ściany). Oblicz wysokość trójkąta [wzór] poprowadzoną z punktu [wzór] na bok [wzór] tego trójkąta. Zapisz obliczenia.
Zadanie 8 – planimetria
Czworokąt [wzór], w którym [wzór] i [wzór], jest opisany na okręgu. Przekątna [wzór] tego czworokąta tworzy z bokiem [wzór] kąt o mierze [wzór], natomiast z bokiem [wzór] – kąt ostry, którego sinus jest równy [wzór]. Oblicz obwód czworokąta [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 9 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór]. Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór].
Zadanie 10 – ciagi
Określamy kwadraty [wzór] następująco: [wzór] jest kwadratem o boku długości [wzór]; [wzór] jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu [wzór] i dzieli ten bok w stosunku [wzór]; [wzór] jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu [wzór] i dzieli ten bok w stosunku [wzór]; i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej [wzór], [wzór] jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu [wzór] i dzieli ten bok w stosunku [wzór]. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej (kolejne kwadraty są wpisane w siebie z wierzchołkami dzielącymi boki poprzedniego w stosunku [wzór]). Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – rownania
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których równanie [wzór] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste [wzór] spełniające warunek [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.1 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby dodatniej [wzór]. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej [wzór] wyrażenie [wzór] można równoważnie przekształcić do postaci [wzór].
Zadanie 12.2 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby dodatniej [wzór]. Oblicz najmniejszą wartość funkcji [wzór] określonej dla każdej liczby dodatniej [wzór]. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji [wzór] można przedstawić w postaci [wzór].
Zadanie 13 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] prosta [wzór] o równaniu [wzór] przecina parabolę o równaniu [wzór] w punktach [wzór] oraz [wzór]. Odcinek [wzór] jest średnicą okręgu [wzór]. Punkt [wzór] leży na okręgu [wzór] nad prostą [wzór], a kąt [wzór] jest ostry i ma miarę [wzór] taką, że [wzór] (rysunek przedstawia układ współrzędnych z parabolą [wzór], prostą [wzór], punktami przecięcia [wzór] (niżej po lewej) i [wzór] (wyżej po prawej), okręgiem [wzór] o średnicy [wzór] oraz punktem [wzór] leżącym na okręgu nad prostą [wzór], z zaznaczonym kątem [wzór] przy wierzchołku [wzór]). Oblicz współrzędne punktu [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – ciagi
Oblicz granicę [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2 – kombinatoryka
Ze zbioru ośmiu liczb [wzór] losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez [wzór]. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 3 – algebra
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór] i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór] prawdziwa jest nierówność [wzór].
Zadanie 4 – planimetria
Punkty [wzór] i [wzór] są środkami – odpowiednio – boków [wzór] i [wzór] kwadratu [wzór] o boku długości [wzór]. Punkt [wzór] jest takim punktem na boku [wzór], że odcinki [wzór] i [wzór] są prostopadłe. Odcinek [wzór] przecina odcinki [wzór] oraz [wzór] w punktach – odpowiednio – [wzór] oraz [wzór]. Na rysunku przedstawiony jest kwadrat [wzór] z zaznaczonymi punktami: [wzór] – środek boku [wzór], [wzór] – środek boku [wzór], [wzór] – punkt na boku [wzór], [wzór] – przecięcie [wzór] z [wzór], [wzór] – przecięcie [wzór] z [wzór]. Kąt przy [wzór] pomiędzy [wzór] a [wzór] jest prosty. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 5 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 6 – ciagi
Dany jest ciąg arytmetyczny [wzór] o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od [wzór]. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy [wzór], a ostatni wyraz tego ciągu jest równy [wzór]. Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 8 – stereometria
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym [wzór] podstawa [wzór] jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie [wzór] jest równa [wzór], a cosinus kąta między krawędziami bocznymi [wzór] i [wzór] jest równy [wzór]. Oblicz długość krawędzi podstawy [wzór] oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi [wzór] i [wzór] tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 9 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkty [wzór] oraz [wzór] są wierzchołkami trójkąta [wzór], w którym [wzór]. Jedno z ramion trójkąta [wzór] zawiera się w prostej o równaniu [wzór]. Na boku [wzór] tego trójkąta obrano taki punkt [wzór], że [wzór]. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie [wzór] i przechodzi przez punkt [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – funkcje
Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru [wzór], gdzie [wzór], dla których funkcja kwadratowa [wzór] określona wzorem [wzór] ma dwa różne miejsca zerowe [wzór] oraz [wzór] należące do przedziału [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – planimetria
W czworokącie [wzór] są dane: [wzór], [wzór] oraz [wzór]. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg. Na rysunku przedstawiony jest czworokąt [wzór] z wpisanym i opisanym okręgiem, gdzie wierzchołek [wzór] jest na dole po lewej stronie, [wzór] na dole po prawej, [wzór] po prawej stronie (wyżej), [wzór] na górze; kąt przy [wzór] wynosi [wzór], bok [wzór], bok [wzór]. Oblicz długości boków [wzór] i [wzór] oraz pole czworokąta [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.1 – planimetria
W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości [wzór] metrów nieprzekraczającej [wzór] metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy [wzór] metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika. Na rysunku przedstawiony jest trójkąt równoramienny z podstawą [wzór] i wpisanym kołem o średnicy [wzór] (okrąg wpisany). Wykaż, że pole [wzór] (wyrażone w metrach kwadratowych) trójkątnego kwietnika o podstawie długości [wzór] metrów jest określone wzorem [wzór].
Zadanie 12.2 – pochodne
Pole [wzór] trójkątnego kwietnika o podstawie długości [wzór] metrów jest określone wzorem [wzór] dla każdego [wzór]. Wyznacz długość [wzór] podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – algebra
W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność [wzór] populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą [wzór] dla [wzór], gdzie: [wzór] – liczebność populacji w chwili [wzór] rozpoczęcia obserwacji, [wzór] – stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji, [wzór] – czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili [wzór] rozpoczęcia obserwacji. W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa [wzór], a po dwóch godzinach była równa [wzór]. Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2 – algebra
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór] i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór] takich, że [wzór], prawdziwa jest nierówność [wzór].
Zadanie 3 – planimetria
W trójkącie równobocznym [wzór] punkt [wzór] leży na boku [wzór]. Stosunek pola trójkąta [wzór] do pola trójkąta [wzór] jest równy [wzór]. Oblicz miarę kąta [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4 – kombinatoryka
Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.
Zadanie 5 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 6 – ciagi
Ciąg [wzór], określony dla każdej liczby naturalnej [wzór], jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu [wzór] i [wzór]. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7 – planimetria
W trapezie [wzór] o podstawach [wzór] i [wzór] punkt [wzór] jest środkiem ramienia [wzór], a punkt [wzór] jest środkiem ramienia [wzór] trapezu. Stosunek pola trapezu [wzór] do pola trapezu [wzór] jest równy [wzór]. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 8 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dane są okręgi [wzór] oraz [wzór] o równaniach: [wzór]: [wzór], [wzór]: [wzór]. Te okręgi przecinają się w punktach [wzór] oraz [wzór]. Punkt [wzór] ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt [wzór] spełnia warunek [wzór]. Oblicz współrzędne punktów [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 9 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] w przedziale [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – stereometria
Podstawą ostrosłupa [wzór] jest kwadrat [wzór]. Krawędź boczna [wzór] jest wysokością ostrosłupa, natomiast krawędź podstawy ma długość [wzór]. Cosinus kąta [wzór] między ścianami bocznymi [wzór] i [wzór] tego ostrosłupa jest równy [wzór]. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór], gdzie [wzór] jest liczbą rzeczywistą różną od [wzór]. Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których funkcja [wzór] ma dokładnie dwa miejsca zerowe [wzór] oraz [wzór] tego samego znaku, które spełniają warunek [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.1 – stereometria
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od [wzór], a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa [wzór]. Wykaż, że objętość [wzór] stożka, jako funkcja wysokości [wzór] stożka, wyraża się wzorem [wzór].
Zadanie 12.2 – pochodne
Objętość [wzór] stożka, jako funkcja wysokości [wzór] stożka, wyraża się wzorem [wzór] dla [wzór]. Wyznacz wysokość tego z rozważanych stożków, którego objętość jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą objętość. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – algebra
Dana jest nierówność [wzór]. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A. Przedział [wzór] zaznaczony jako odcinek domknięty. B. Dwa przedziały [wzór] oraz [wzór] zaznaczone jako promienie domknięte (punkty [wzór] i [wzór] wypełnione). C. Przedział [wzór] zaznaczony jako odcinek domknięty z lewej, otwarty z prawej. D. Dwa przedziały [wzór] oraz [wzór] zaznaczone jako promienie otwarte (punkty [wzór] i [wzór] puste).
Zadanie 2 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej [wzór] liczba [wzór] przy dzieleniu przez [wzór] daje resztę [wzór].
Zadanie 4 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] i dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wartość wyrażenia [wzór] jest równa wartości wyrażenia A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – rownania
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie [wzór] w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. C. ma dokładnie dwa rozwiązania: [wzór] oraz [wzór]. D. ma dokładnie trzy rozwiązania: [wzór], [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 8 – algebra
Dany jest wielomian [wzór]. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Wielomian [wzór] jest iloczynem wielomianów [wzór] i [wzór]. [P / F] 2. Liczba [wzór] jest rozwiązaniem równania [wzór]. [P / F]
Zadanie 9 – rownania
Rozwiąż równanie [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – rownania
W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech [wzór] oraz [wzór] oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby [wzór] drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby [wzór] drzew posadzonych w drugim sadzie, jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – funkcje
Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór], przedstawiono dwie proste równoległe (obie mają ujemne nachylenie, obie rosną w kierunku lewym i opadają w prawo; jedna przecina oś [wzór] powyżej punktu [wzór], druga poniżej osi [wzór] po prawej stronie osi [wzór]), które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór], gdzie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja [wzór] jest malejąca dla każdej liczby [wzór] należącej do przedziału A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – funkcje
Funkcje liniowe [wzór] oraz [wzór], określone wzorami [wzór] oraz [wzór], mają to samo miejsce zerowe. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik [wzór] we wzorze funkcji [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14.1 – funkcje (nierówność kwadratowa)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek paraboli leży w punkcie [wzór], ramiona skierowane w dół, miejsca zerowe w punktach [wzór] i [wzór], przecięcie z osią [wzór] w punkcie [wzór]. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział ………………………
Zadanie 14.2 – funkcje (wzór funkcji kwadratowej)
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek paraboli leży w punkcie [wzór], ramiona skierowane w dół, miejsca zerowe w punktach [wzór] i [wzór], przecięcie z osią [wzór] w punkcie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona wzorem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14.3 – funkcje (oś symetrii paraboli)
Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona wzorem [wzór]. Wierzchołek paraboli leży w punkcie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla funkcji [wzór] prawdziwa jest równość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14.4 – funkcje (przekształcenia wykresów)
Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona wzorem [wzór]. Funkcje kwadratowe [wzór] oraz [wzór] są określone następująco: [wzór], [wzór]. Na rysunkach A–F przedstawiono fragmenty wykresów różnych funkcji – w tym fragment wykresu funkcji [wzór] oraz fragment wykresu funkcji [wzór]. Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji [wzór] oraz [wzór] przyporządkuj fragment jej wykresu spośród oznaczonych literami A–F. Fragment wykresu funkcji [wzór] przedstawiono na rysunku: ……… Fragment wykresu funkcji [wzór] przedstawiono na rysunku: ………
Zadanie 15 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Pierwszy wyraz ciągu [wzór] jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. [P / F] 2. Wszystkie wyrazy ciągu [wzór] są dodatnie. [P / F]
Zadanie 16 – ciagi
Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest A. rosnący B. malejący oraz 1. [wzór] 2. [wzór] 3. [wzór]
Zadanie 17 – ciagi
Ciąg arytmetyczny [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy [wzór], a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa [wzór]. Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Zadanie 18 – trygonometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] zaznaczono kąt o mierze [wzór] taki, że [wzór] oraz [wzór] (kąt w drugiej ćwiartce układu współrzędnych). Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Prawdziwe są zależności: ………… oraz ………… A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór] E. [wzór] F. [wzór]
Zadanie 19 – trygonometria
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
Dany jest trójkąt [wzór], w którym [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Dwusieczna kąta [wzór] przecina bok [wzór] w punkcie [wzór] takim, że [wzór], [wzór] oraz [wzór] (rysunek przedstawia trójkąt [wzór] z dwusieczną [wzór], gdzie [wzór] jest w górze, [wzór] i [wzór] na dole, [wzór] leży na boku [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W trójkącie [wzór] prawdziwa jest równość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – planimetria
Dany jest równoległobok o bokach długości [wzór] i [wzór] oraz o kącie między nimi o mierze [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego równoległoboku jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – planimetria
W trójkącie [wzór], wpisanym w okrąg o środku w punkcie [wzór], kąt [wzór] ma miarę [wzór] (rysunek przedstawia trójkąt [wzór] wpisany w okrąg ze środkiem [wzór]; kąt [wzór] jest zaznaczony przy wierzchołku [wzór]; zaznaczony jest kąt [wzór] przy wierzchołku [wzór]). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] proste [wzór] oraz [wzór] są określone równaniami: [wzór] [wzór] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste [wzór] oraz [wzór] są prostopadłe, gdy liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – planimetria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dany jest równoległobok [wzór], w którym [wzór] oraz [wzór]. Przekątne [wzór] oraz [wzór] tego równoległoboku przecinają się w punkcie [wzór]. Oblicz długość boku [wzór] tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.
Zadanie 25.1 – stereometria (pole ściany bocznej)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa [wzór]. Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25.2 – stereometria (kąt nachylenia przekątnej)
Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa [wzór]. Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku A, B, C albo D. Uwaga: cztery rysunki z zaznaczonymi kątami są tylko w arkuszu CKE — w aplikacji nie są odwzorowane. Rozstrzygnięcie: szukanym kątem jest kąt między najdłuższą przekątną a jej rzutem na płaszczyznę podstawy, czyli najdłuższą przekątną podstawy; oba ramiona kąta wychodzą z tego samego wierzchołka dolnej podstawy.
Zadanie 26 – stereometria
Ostrosłup [wzór] jest podobny do ostrosłupa [wzór]. Objętość ostrosłupa [wzór] jest równa [wzór]. Objętość ostrosłupa [wzór] jest równa [wzór]. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa [wzór] do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa [wzór] jest równy ………
Zadanie 27 – kombinatoryka
Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr [wzór], przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich takich kodów jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 28 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna trzech liczb: [wzór], [wzór], [wzór], jest równa [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: [wzór], jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – kombinatoryka
Na diagramie słupkowym przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny (1, 2, 3, 4, 5, 6), które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Z diagramu odczytujemy: ocena 1 – 2 uczniów, ocena 2 – 7 uczniów, ocena 3 – 4 uczniów, ocena 4 – 3 uczniów, ocena 5 – 6 uczniów, ocena 6 – 4 uczniów. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 30 – kombinatoryka
Dany jest pięcioelementowy zbiór [wzór]. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru [wzór] losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.
Zadanie 31 – funkcje
W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć [wzór] metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry): trzy prostokąty ustawione obok siebie w rzędzie, każdy o szerokości [wzór] i wysokości [wzór], ze wspólnymi ścianami wewnętrznymi. Łącznie tworzą jeden duży prostokąt o wymiarach [wzór]. Siatka biegnie wzdłuż całego obwodu zewnętrznego oraz dwóch ścianek wewnętrznych (pionowych). Oblicz wymiary [wzór] oraz [wzór] jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – funkcje
W chwili początkowej ([wzór]) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa [wzór]. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa [wzór]. Temperatura [wzór] tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością [wzór] dla [wzór], gdzie: [wzór] – temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, [wzór] – czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej, [wzór] – temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, [wzór] – temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza, [wzór] – stała charakterystyczna dla danej cieczy. Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury [wzór]. Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2 – funkcje
Oblicz granicę [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 3 – kombinatoryka
W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe [wzór]. Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań ze śmietaną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkt [wzór], o pierwszej współrzędnej równej [wzór], należy do wykresu funkcji [wzór]. Prosta o równaniu [wzór] jest styczna do wykresu funkcji [wzór] w punkcie [wzór]. Oblicz współczynniki [wzór] oraz [wzór] w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 5 – algebra
Wykaż, że jeżeli [wzór] oraz [wzór], to [wzór].
Zadanie 6 – kombinatoryka
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.
Zadanie 7 – ciagi
Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa [wzór]. Liczby [wzór], [wzór] oraz [wzór] są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego [wzór], określonego dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Oblicz [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 8 – planimetria
Dany jest trójkąt [wzór], który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta [wzór] jest dwa razy większa od miary kąta [wzór]. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek [wzór].
Zadanie 9 – planimetria
Dany jest kwadrat [wzór] o boku długości [wzór]. Punkt [wzór] jest środkiem boku [wzór]. Przekątna [wzór] dzieli trójkąt [wzór] na dwie figury: [wzór] oraz [wzór] (rysunek przedstawia kwadrat [wzór] z wierzchołkami: [wzór] w lewym górnym rogu, [wzór] w górnym środku, [wzór] w prawym górnym rogu, [wzór] w lewym dolnym rogu, [wzór] w prawym dolnym rogu; zaznaczony jest trójkąt [wzór] oraz przekątna [wzór]; [wzór] to punkt przecięcia odcinka [wzór] z przekątną [wzór], [wzór] to punkt przecięcia odcinka [wzór] z przekątną [wzór]; długość boku kwadratu oznaczono [wzór]). Oblicz pola figur [wzór] oraz [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] w zbiorze [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] środek [wzór] okręgu o promieniu [wzór] leży na prostej o równaniu [wzór]. Przez punkt [wzór], którego odległość od punktu [wzór] jest większa od [wzór], poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – [wzór] i [wzór]. Pole czworokąta [wzór] jest równe [wzór]. Oblicz współrzędne punktu [wzór]. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12 – rownania
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których równanie [wzór] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste [wzór], [wzór] spełniające warunek [wzór]. Zapisz obliczenia.
Zadanie 13.1 – stereometria
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości [wzór], których krawędź podstawy ma długość nie większą niż [wzór]. Wykaż, że pole [wzór] powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości [wzór] krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem [wzór].
Zadanie 13.2 – stereometria
Pole [wzór] powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości [wzór] krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem [wzór] dla [wzór]. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. 16 B. 18 C. 30 D. 34
Zadanie 2 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. 30 B. 31 C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba [wzór] jest równa A. 3 B. 9 C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wartość wyrażenia [wzór] jest równa wartości wyrażenia A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej [wzór] liczba [wzór] jest podzielna przez [wzór].
Zadanie 6 – rownania
Dana jest nierówność [wzór] Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A. Zaznaczony przedział [wzór] z zaznaczonym punktem 3 (domknięty) na osi liczbowej, widoczne punkty 0, 1, 3. B. Zaznaczony przedział [wzór] z zaznaczonym punktem 3 (domknięty) na osi liczbowej, widoczne punkty 0, 1, 3. C. Zaznaczony przedział [wzór] z zaznaczonym punktem -9 (domknięty) na osi liczbowej, widoczne punkty -9, 0, 1. D. Zaznaczony przedział [wzór] z zaznaczonym punktem -9 (domknięty) na osi liczbowej, widoczne punkty -9, 0, 1.
Zadanie 7 – rownania
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie [wzór] w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania: [wzór] oraz [wzór]. B. dwa rozwiązania: [wzór] oraz [wzór]. C. trzy rozwiązania: [wzór], [wzór] oraz [wzór]. D. cztery rozwiązania: [wzór], [wzór], [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 8 – algebra
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] różnej od [wzór] oraz różnej od [wzór] wartość wyrażenia [wzór] jest równa wartości wyrażenia A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – algebra
Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę [wzór] złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: A i B. W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie [wzór] złotych – zespół A wykorzystał [wzór] przyznanych mu środków, a zespół B wykorzystał [wzór] przyznanych mu środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi A na realizację projektu badawczego. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór] Zapisz obliczenia.
Zadanie 11 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona następująco: [wzór] Wykres funkcji [wzór] przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] na rysunku. Wykres składa się z trzech części: odcinka rosnącego od punktu [wzór] (domkniętego) do punktu [wzór] (domkniętego), poziomego odcinka na wysokości [wzór] dla [wzór] (lewy koniec otwarty, prawy domknięty), oraz odcinka malejącego od punktu [wzór] (domkniętego) do punktu [wzór] (otwartego). Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji [wzór] jest przedział …………………… 2. Zbiorem wartości funkcji [wzór] jest przedział …………………… 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja [wzór] przyjmuje wartości dodatnie, jest przedział …………………… 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania [wzór] jest przedział ……………………
Zadanie 12.1 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne [wzór]. Ta parabola przecina oś [wzór] w punkcie o współrzędnych [wzór]. Wyznacz wzór funkcji [wzór] w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.
Zadanie 12.2 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne [wzór]. Ta parabola przecina oś [wzór] w punkcie o współrzędnych [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji [wzór] jest prosta o równaniu A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12.3 – funkcje
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne [wzór]. Ta parabola przecina oś [wzór] w punkcie o współrzędnych [wzór]. Funkcja [wzór] jest określona dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wzorem [wzór]. Liczby [wzór] oraz [wzór] są różnymi miejscami zerowymi funkcji [wzór]. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu, aby zdanie było prawdziwe. Suma [wzór] jest równa ………
Zadanie 13 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] jest określona wzorem [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja [wzór] nie ma miejsca zerowego dla [wzór] równego A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14.1 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony następująco: [wzór] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzeci wyraz ciągu [wzór] jest równy A. 4 B. 5 C. 7 D. 11
Zadanie 14.2 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony następująco: [wzór] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Ciąg [wzór] jest arytmetyczny. [P / F] 2. Ciąg [wzór] jest geometryczny. [P / F]
Zadanie 15 – ciagi
Wyznacz wartość [wzór], dla której trzywyrazowy ciąg [wzór] jest arytmetyczny i malejący. Zapisz obliczenia.
Zadanie 16 – ciagi
Dany jest ciąg geometryczny [wzór] określony dla każdej liczby naturalnej [wzór], w którym [wzór] oraz [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Czwarty wyraz ciągu [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – trygonometria
Kąt [wzór] jest ostry i spełnia warunek [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cosinus kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18.1 – trygonometria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór], w którym bok [wzór] jest przeciwprostokątną, przyprostokątna [wzór] ma długość [wzór], a środkowa [wzór] ma długość [wzór]. Punkt [wzór] jest środkiem boku [wzór]. Oznaczmy kąt [wzór] przez [wzór], natomiast kąt [wzór] – przez [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18.2 – trygonometria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór], w którym bok [wzór] jest przeciwprostokątną, przyprostokątna [wzór] ma długość [wzór], a środkowa [wzór] ma długość [wzór]. Punkt [wzór] jest środkiem boku [wzór]. Oznaczmy kąt [wzór] przez [wzór], natomiast kąt [wzór] – przez [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Sinus kąta [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – planimetria
Punkty [wzór], [wzór] oraz [wzór] leżą na okręgu o środku w punkcie [wzór]. Miara kąta [wzór] jest równa [wzór]. Na rysunku przedstawiono okrąg ze środkiem [wzór], na którym leżą punkty [wzór], [wzór], [wzór]; kąt [wzór] jest zaznaczony przy wierzchołku [wzór], zaznaczony jest również kąt [wzór] przy wierzchołku [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
W trójkącie równoramiennym [wzór] dane są: [wzór] i [wzór]. Na boku [wzór], między punktami [wzór] i [wzór], wybrano taki punkt [wzór], że trójkąty [wzór] i [wzór] są podobne. Na rysunku przedstawiono trójkąt równoramienny [wzór] z podstawą [wzór] i ramionami [wzór], z punktem [wzór] na boku [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek [wzór] ma długość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – planimetria
Dany jest trójkąt [wzór], w którym [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. 1. Trójkąt [wzór] jest równoramienny. [P / F] 2. Pole trójkąta [wzór] jest równe [wzór]. [P / F]
Zadanie 22 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] dany jest kwadrat [wzór], w którym [wzór]. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przekątna kwadratu [wzór] ma długość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] proste [wzór] oraz [wzór] są określone równaniami [wzór] [wzór] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste [wzór] oraz [wzór] są równoległe, gdy liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – geometria
W kartezjańskim układzie współrzędnych [wzór] punkt [wzór] leży na okręgu [wzór] o środku w punkcie [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg [wzór] jest określony równaniem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – stereometria
Tworząca stożka ma długość [wzór]. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę [wzór]. Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.
Zadanie 26 – stereometria
Objętość sześcianu jest równa [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 27 – kombinatoryka
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra [wzór], jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 28 – kombinatoryka
Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Zdarzenie [wzór] polega na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek będzie równa [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna siedmiu liczb: [wzór], jest równa [wzór]. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 30 – kombinatoryka
Na diagramie słupkowym przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej liczącej [wzór] uczniów. Na osi poziomej podano oceny (1, 2, 3, 4, 5, 6), które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Na podstawie diagramu: ocenę 1 dostał 1 uczeń, ocenę 2 – 3 uczniów, ocenę 3 – 4 uczniów, ocenę 4 – 4 uczniów, ocenę 5 – 5 uczniów, ocenę 6 – 7 uczniów. Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa ………… 2. Dominanta ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa …………
Zadanie 31 – stereometria
Rozważamy wszystkie prostopadłościany [wzór], w których krawędź [wzór] ma długość [wzór] oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka [wzór] jest równa [wzór]. Na rysunku przedstawiono prostopadłościan [wzór] z zaznaczoną krawędzią [wzór] i krawędzią [wzór]. Niech [wzór] oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości [wzór] krawędzi [wzór]. Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji [wzór]. Oblicz długość [wzór] krawędzi [wzór] tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.
Zadanie 1 – rownania
Wskaż rysunek, na którym przedstawiono przedział, będący zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór]. A. rysunek A B. rysunek B C. rysunek C D. rysunek D
Zadanie 2 – algebra
Dane są liczby [wzór], [wzór], [wzór]. Iloczyn [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Równość [wzór] zachodzi dla A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – rownania
Układ równań [wzór] opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie A. zbiór pusty. B. dokładnie jeden punkt. C. dokładnie dwa różne punkty. D. zbiór nieskończony.
Zadanie 6 – rownania
Suma wszystkich pierwiastków równania [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Równanie [wzór] A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. D. ma dokładnie dwa rozwiązania: [wzór], [wzór].
Zadanie 8 – funkcje
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji [wzór]. Zbiorem wartości funkcji [wzór] jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – funkcje
Na wykresie funkcji liniowej określonej wzorem [wzór] leży punkt [wzór]. Zatem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] określona wzorem [wzór] ma takie samo miejsce zerowe, jakie ma funkcja liniowa [wzór]. Stąd wynika, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – funkcje
Funkcja kwadratowa określona jest wzorem [wzór]. Jeżeli [wzór], to A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – rownania
Ile liczb całkowitych [wzór] spełnia nierówność [wzór]? A. 14 B. 15 C. 16 D. 17
Zadanie 13 – ciagi
W rosnącym ciągu geometrycznym [wzór], określonym dla [wzór], spełniony jest warunek [wzór]. Iloraz [wzór] tego ciągu jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – trygonometria
Tangens kąta [wzór] zaznaczonego na rysunku jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – trygonometria
Jeżeli [wzór] oraz [wzór], to A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – planimetria
Miara kąta wpisanego w okrąg jest o [wzór] mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – planimetria
Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę [wzór]. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18 – geometria
Prosta [wzór] o równaniu [wzór] jest równoległa do prostej [wzór] o równaniu [wzór]. Zatem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – geometria
Proste o równaniach: [wzór] oraz [wzór] są prostopadłe dla A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – geometria
Dane są punkty [wzór] i [wzór]. Punkt [wzór] jest środkiem odcinka [wzór]. Obrazem punktu [wzór] w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – stereometria
W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym [wzór] wierzchołki [wzór], [wzór], [wzór] połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością [wzór] trójkąta [wzór] i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa. A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – stereometria
Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt równoboczny o boku długości [wzór]. Objętość tego stożka jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – stereometria
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą [wzór]. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 2, 4, 7, 8, 9, x. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – kombinatoryka
W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech [wzór] oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór].
Zadanie 27 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] i dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] prawdziwa jest nierówność [wzór].
Zadanie 28 – planimetria
Dany jest kwadrat [wzór]. Przekątne [wzór] i [wzór] przecinają się w punkcie [wzór]. Punkty [wzór] i [wzór] są środkami odcinków – odpowiednio – [wzór] i [wzór]. Punkty [wzór] i [wzór] leżą na przekątnej [wzór] tak, że [wzór] i [wzór] (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta [wzór] do pola kwadratu [wzór] jest równy [wzór].
Zadanie 29 – funkcje
Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej [wzór] w przedziale [wzór].
Zadanie 30 – geometria
W układzie współrzędnych są dane punkty [wzór], [wzór]. Prosta [wzór] przecina oś [wzór] w punkcie [wzór]. Oblicz pierwszą współrzędną punktu [wzór].
Zadanie 31 – rownania
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy [wzór], a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy 1, to otrzymamy [wzór]. Wyznacz ten ułamek.
Zadanie 32 – stereometria
Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa [wzór]. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy [wzór]. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Zadanie 33 – kombinatoryka
Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne. Rodzaj kupionych biletów | Liczba osób ulgowe | 76 normalne | 41 Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
Zadanie 34 – ciagi
W nieskończonym ciągu arytmetycznym [wzór], określonym dla [wzór], suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy [wzór], [wzór], [wzór] ciągu [wzór], w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny [wzór]. Oblicz [wzór].
Zadanie 1 – rownania
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność [wzór]. Stąd wynika, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – funkcje
Dana jest funkcja [wzór] określona wzorem [wzór] Równanie [wzór] ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. cztery rozwiązania. D. pięć rozwiązań.
Zadanie 3 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – trygonometria
Równanie [wzór] w przedziale [wzór] A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie 5 – geometria
Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – ciagi
Oblicz granicę [wzór]. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 7 – funkcje
Liczby [wzór] i [wzór] są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej [wzór]. Oblicz [wzór].
Zadanie 8 – algebra
Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] prawdziwa jest nierówność [wzór]
Zadanie 9 – planimetria
Dwusieczne czworokąta [wzór] wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór] (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie [wzór] można opisać okrąg.
Zadanie 10 – planimetria
Długości boków czworokąta [wzór] są równe: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór]. Na czworokącie [wzór] opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej [wzór] tego czworokąta.
Zadanie 11 – kombinatoryka
W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.
Zadanie 12 – pochodne
Funkcja [wzór] określona jest wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji [wzór], które są równoległe do prostej o równaniu [wzór].
Zadanie 13 – funkcje
Dany jest trójmian kwadratowy [wzór]. Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których trójmian [wzór] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste [wzór], [wzór], spełniające warunek [wzór].
Zadanie 14 – stereometria
Podstawą ostrosłupa [wzór] jest kwadrat [wzór]. Krawędź boczna [wzór] jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi [wzór] i [wzór] tego ostrosłupa.
Zadanie 15 – ciagi
Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu [wzór] jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki [wzór], [wzór] i [wzór]. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Zadanie 16 – stereometria
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Zadanie 1 – algebra
Dla każdej dodatniej liczby [wzór] iloraz [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Liczby [wzór] i [wzór] są dodatnie. Liczba [wzór] stanowi 48% liczby [wzór] oraz 32% liczby [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Równość [wzór] jest prawdziwa dla A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – rownania
Jedną z liczb, które spełniają nierówność [wzór], jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – geometria
Proste o równaniach [wzór] i [wzór] przecinają się w punkcie [wzór]. Stąd wynika, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – planimetria
Punkty [wzór] leżą na okręgu o środku [wzór] (zobacz rysunek). Miara kąta [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 8 – funkcje
Dana jest funkcja liniowa [wzór]. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – rownania
Równanie wymierne [wzór], gdzie [wzór], A. nie ma rozwiązań rzeczywistych. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste. C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. D. ma dokładnie trzy rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie 10 – funkcje
Informacja do zadań 10. i 11. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt [wzór]. Liczby [wzór] i [wzór] to miejsca zerowe funkcji [wzór]. Zbiorem wartości funkcji [wzór] jest przedział A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – funkcje
Najmniejsza wartość funkcji [wzór] w przedziale [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – funkcje
Funkcja [wzór] określona jest wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Wtedy [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – planimetria
W okręgu o środku w punkcie [wzór] poprowadzono cięciwę [wzór], która utworzyła z promieniem [wzór] kąt o mierze [wzór] (zobacz rysunek). Promień tego okręgu ma długość 10. Odległość punktu [wzór] od cięciwy [wzór] jest liczbą z przedziału A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – ciagi
Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa [wzór]. Siódmy wyraz tego ciągu jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – ciagi
Ciąg [wzór] jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – planimetria
Przedstawione na rysunku trójkąty [wzór] i [wzór] są podobne. Bok [wzór] trójkąta [wzór] ma długość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – trygonometria
Kąt [wzór] jest ostry i [wzór]. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18 – planimetria
Z odcinków o długościach: [wzór], [wzór], [wzór] można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – planimetria
Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie [wzór] przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności [wzór], jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – geometria
Proste opisane równaniami [wzór] oraz [wzór] są prostopadłe, gdy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – geometria
W układzie współrzędnych dane są punkty [wzór] oraz [wzór]. Środkiem odcinka [wzór] jest punkt [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] i [wzór] B. [wzór] i [wzór] C. [wzór] i [wzór] D. [wzór] i [wzór]
Zadanie 22 – kombinatoryka
Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Niech [wzór] oznacza prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie dwóch orłów w tych trzech rzutach. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – stereometria
Kąt rozwarcia stożka ma miarę [wzór], a tworząca tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – stereometria
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek). Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt [wzór] o mierze A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – algebra
Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: 31, 16, 25, 29, 27, [wzór], jest równa [wzór]. Mediana tych liczb jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – algebra
W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. kolejne lata | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 przyrost (w cm) | 10 | 10 | 7 | 8 | 8 | 7 Oblicz średni roczny przyrost wysokości tej sosny w badanym okresie sześciu lat. Otrzymany wynik zaokrąglij do 1 cm. Oblicz błąd względny otrzymanego przybliżenia. Podaj ten błąd w procentach.
Zadanie 27 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór].
Zadanie 28 – rownania
Rozwiąż równanie [wzór].
Zadanie 29 – planimetria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór]. Na przyprostokątnych [wzór] i [wzór] tego trójkąta obrano odpowiednio punkty [wzór] i [wzór]. Na przeciwprostokątnej [wzór] wyznaczono punkty [wzór] i [wzór] takie, że [wzór] (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt [wzór] jest podobny do trójkąta [wzór].
Zadanie 30 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla [wzór]. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
Zadanie 31 – algebra
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem [wzór], gdzie [wzór] oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, [wzór] cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 5 maja 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 6,2 w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy – mniejsza od 100 cm.
Zadanie 32 – planimetria
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o [wzór]. Oblicz kąty tego trójkąta.
Zadanie 33 – stereometria
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego [wzór] jest trójkąt równoboczny [wzór]. Wysokość [wzór] tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa [wzór] oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Zadanie 34 – kombinatoryka
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Zadanie 1 – algebra
W rozwinięciu wyrażenia [wzór] współczynnik przy iloczynie [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Wielomian [wzór] jest podzielny przez dwumian [wzór] dla [wzór] równego A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – funkcje
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej [wzór], której dziedziną jest zbiór [wzór]. Równanie [wzór] z niewiadomą [wzór] ma dokładnie jedno rozwiązanie A. w dwóch przypadkach: [wzór] lub [wzór]. B. w dwóch przypadkach: [wzór] lub [wzór]. C. tylko wtedy, gdy [wzór]. D. tylko wtedy, gdy [wzór].
Zadanie 4 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – ciagi
Granica [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – kombinatoryka
Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli. Badane grupy | Liczba osób popierających budowę przedszkola | Liczba osób niepopierających budowy przedszkola Kobiety | 5140 | 1860 Mężczyźni | 2260 | 740 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 7 – ciagi
Dany jest ciąg geometryczny [wzór] określony wzorem [wzór] dla [wzór]. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą [wzór], dla której nieskończony szereg [wzór] jest zbieżny.
Zadanie 8 – algebra
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych [wzór] i [wzór] takich, że [wzór], prawdziwa jest nierówność [wzór].
Zadanie 9 – planimetria
Dany jest prostokąt [wzór]. Okrąg wpisany w trójkąt [wzór] jest styczny do przekątnej [wzór] w punkcie [wzór]. Okrąg wpisany w trójkąt [wzór] jest styczny do boku [wzór] w punkcie [wzór], a środek [wzór] tego okręgu leży na odcinku [wzór], jak na rysunku. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 10 – funkcje
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których wykresy funkcji [wzór] i [wzór], określonych wzorami [wzór] oraz [wzór], przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.
Zadanie 11 – trygonometria
Rozwiąż nierówność [wzór] w przedziale [wzór].
Zadanie 12 – rownania
Dany jest trójmian kwadratowy [wzór]. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru [wzór], dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki [wzór], [wzór] tego samego znaku, spełniające warunek [wzór].
Zadanie 13 – geometria
Punkty [wzór] i [wzór] są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta [wzór] wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu [wzór] jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną [wzór]. Oblicz współrzędne wierzchołków [wzór] i [wzór] tego czworokąta.
Zadanie 14 – kombinatoryka
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
Zadanie 15 – stereometria
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym [wzór] o podstawie [wzór] wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę [wzór]. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 16 – pochodne
Parabola o równaniu [wzór] przecina oś [wzór] układu współrzędnych w punktach [wzór] i [wzór]. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne [wzór], których dłuższą podstawą jest odcinek [wzór], a końce [wzór] i [wzór] krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek). Wyznacz pole trapezu [wzór] w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka [wzór]. Oblicz współrzędne wierzchołka [wzór] tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie 1 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Liczba osobników pewnego zagrożonego wyginięciem gatunku zwierząt wzrosła w stosunku do liczby tych zwierząt z 31 grudnia 2011 r. o 120% i obecnie jest równa 8910. Ile zwierząt liczyła populacja tego gatunku w ostatnim dniu 2011 roku? A. 4050 B. 1782 C. 7425 D. 7128
Zadanie 5 – algebra
Równość [wzór] jest A. prawdziwa dla [wzór]. B. prawdziwa dla [wzór]. C. prawdziwa dla [wzór]. D. fałszywa dla każdej liczby [wzór].
Zadanie 6 – rownania
Do zbioru rozwiązań nierówności [wzór] nie należy liczba A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór wszystkich rozwiązań nierówności [wzór]. A. rysunek A B. rysunek B C. rysunek C D. rysunek D
Zadanie 8 – rownania
Równanie [wzór] z niewiadomą [wzór] A. nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. B. ma dokładnie dwa rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. C. ma dokładnie trzy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. D. ma dokładnie pięć rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zadanie 9 – funkcje
Miejscem zerowym funkcji liniowej [wzór] jest liczba A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – funkcje
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej [wzór], której miejsca zerowe to: [wzór] i [wzór]. Współczynnik [wzór] we wzorze funkcji [wzór] jest równy A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Zadanie 11 – funkcje
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej [wzór] określonej wzorem [wzór]. Punkt [wzór] należy do tego wykresu funkcji. Podstawa [wzór] potęgi jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – ciagi
W ciągu arytmetycznym [wzór], określonym dla [wzór], dane są: [wzór], [wzór]. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – ciagi
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny [wzór]. Stąd wynika, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – trygonometria
Jeśli [wzór], to A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – planimetria
Na okręgu o środku w punkcie [wzór] leży punkt [wzór] (zobacz rysunek). Odcinek [wzór] jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy [wzór] ma miarę A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – planimetria
W trójkącie [wzór] punkt [wzór] leży na boku [wzór], a punkt [wzór] leży na boku [wzór]. Odcinek [wzór] jest równoległy do boku [wzór], a ponadto [wzór], [wzór] i [wzór] (zobacz rysunek). Długość odcinka [wzór] jest równa A. 22 B. 20 C. 12 D. 11
Zadanie 17 – planimetria
Obwód trójkąta [wzór], przedstawionego na rysunku, jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18 – geometria
Na rysunku przedstawiona jest prosta [wzór], przechodząca przez punkt [wzór] i przez początek układu współrzędnych, oraz zaznaczony jest kąt [wzór] nachylenia tej prostej do osi [wzór]. Zatem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – geometria
Na płaszczyźnie z układem współrzędnych proste [wzór] i [wzór] przecinają się pod kątem prostym w punkcie [wzór]. Prosta [wzór] jest określona równaniem [wzór]. Zatem prostą [wzór] opisuje równanie A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – geometria
Dany jest okrąg o środku [wzór] i promieniu [wzór]. Który z podanych punktów leży na tym okręgu? A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – stereometria
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe 140. Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – stereometria
Promień [wzór] podstawy walca jest równy wysokości [wzór] tego walca. Sinus kąta [wzór] (zobacz rysunek) jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – stereometria
Dany jest stożek o wysokości 4 i średnicy podstawy 12. Objętość tego stożka jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: 3, 5, 7, 9, [wzór], 15, 17, 19 jest równa 11. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – kombinatoryka
Ze zbioru dwudziestu czterech kolejnych liczb naturalnych od 1 do 24 losujemy jedną liczbę. Niech [wzór] oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba będzie dzielnikiem liczby 24. Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór].
Zadanie 27 – algebra
Wykaż, że liczba [wzór] jest podzielna przez 17.
Zadanie 28 – planimetria
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach [wzór] i [wzór], styczne zewnętrznie w punkcie [wzór]. Prosta [wzór] jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach [wzór] i [wzór] oraz [wzór] i [wzór] (zobacz rysunek). Wykaż, że [wzór].
Zadanie 29 – funkcje
Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych [wzór] wzorem [wzór]. Największa wartość funkcji [wzór] jest równa 6 oraz [wzór]. Oblicz wartość współczynnika [wzór].
Zadanie 30 – planimetria
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.
Zadanie 31 – ciagi
W ciągu arytmetycznym [wzór], określonym dla [wzór], dane są: wyraz [wzór] i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu [wzór]. Oblicz różnicę [wzór].
Zadanie 32 – geometria
Dane są punkty [wzór] i [wzór] oraz prosta [wzór] o równaniu [wzór]. Wierzchołek [wzór] trójkąta [wzór] to punkt przecięcia prostej [wzór] z osią [wzór] układu współrzędnych, a wierzchołek [wzór] jest punktem przecięcia prostej [wzór] z prostą [wzór]. Oblicz pole trójkąta [wzór].
Zadanie 33 – kombinatoryka
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosujemy liczbę, która jest równocześnie mniejsza od 40 i podzielna przez 3. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Zadanie 34 – stereometria
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa [wzór], a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe [wzór]. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 1 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – ciagi
Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem [wzór] dla [wzór]. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – planimetria
Odcinek [wzór] jest wysokością trójkąta [wzór], w którym [wzór] (zobacz rysunek). Okrąg o środku [wzór] i promieniu [wzór] jest styczny do prostej [wzór]. Okrąg ten przecina boki [wzór] i [wzór] trójkąta odpowiednio w punktach [wzór] i [wzór]. Zaznaczony na rysunku kąt [wzór] wpisany w okrąg jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – geometria
Dane są punkt [wzór] i wektor [wzór]. Punkt [wzór], taki, że [wzór], ma współrzędne A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Reszta z dzielenia wielomianu [wzór] przez dwumian [wzór] jest równa 1. Oblicz wartość współczynnika [wzór]. W poniższe kratki wpisz kolejno trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 6 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie [wzór].
Zadanie 7 – algebra
Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych [wzór], [wzór] prawdziwa jest nierówność [wzór]
Zadanie 8 – trygonometria
W trójkącie ostrokątnym [wzór] bok [wzór] ma długość [wzór], długość boku [wzór] jest równa [wzór] oraz [wzór]. Dwusieczna kąta [wzór] przecina bok [wzór] trójkąta w punkcie [wzór]. Wykaż, że długość odcinka [wzór] jest równa [wzór].
Zadanie 9 – stereometria
W czworościanie, którego wszystkie krawędzie mają taką samą długość 6, umieszczono kulę tak, że ma ona dokładnie jeden punkt wspólny z każdą ścianą czworościanu. Płaszczyzna [wzór], równoległa do podstawy tego czworościanu, dzieli go na dwie bryły: ostrosłup o objętości równej [wzór] objętości dzielonego czworościanu i ostrosłup ścięty. Oblicz odległość środka [wzór] kuli od płaszczyzny [wzór], tj. długość najkrótszego spośród odcinków [wzór], gdzie [wzór] jest punktem płaszczyzny [wzór].
Zadanie 10 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] w przedziale [wzór].
Zadanie 11 – kombinatoryka
W pudełku znajduje się 8 piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 8. Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występującą, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez 4. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego.
Zadanie 12 – rownania
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których równanie [wzór] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste [wzór] i [wzór], przy czym [wzór], spełniające warunek [wzór]
Zadanie 13 – geometria
Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty [wzór] i [wzór], którego środek leży na prostej o równaniu [wzór].
Zadanie 14 – ciagi
Liczby [wzór], [wzór], [wzór] są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg [wzór] jest geometryczny. Wyznacz liczby [wzór], [wzór], [wzór].
Zadanie 15 – pochodne
Rozpatrujemy wszystkie walce o danym polu powierzchni całkowitej [wzór]. Oblicz wysokość i promień podstawy tego walca, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Zadanie 1 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Dane są liczby [wzór] oraz [wzór]. Wtedy iloraz [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Cena roweru po obniżce o 15% była równa 850 zł. Przed obniżką ten rower kosztował A. 865,00 zł B. 850,15 zł C. 1000,00 zł D. 977,50 zł
Zadanie 5 – rownania
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – funkcje
Funkcja kwadratowa jest określona wzorem [wzór]. Liczby [wzór], [wzór] są różnymi miejscami zerowymi funkcji [wzór]. Zatem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Równanie [wzór] A. ma trzy rozwiązania: [wzór], [wzór], [wzór] B. ma dwa rozwiązania: [wzór], [wzór] C. ma dwa rozwiązania: [wzór], [wzór] D. ma jedno rozwiązanie: [wzór]
Zadanie 8 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] określona jest wzorem [wzór], dla wszystkich liczb rzeczywistych [wzór]. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Funkcja [wzór] jest malejąca i jej wykres przecina oś [wzór] w punkcie [wzór]. B. Funkcja [wzór] jest malejąca i jej wykres przecina oś [wzór] w punkcie [wzór]. C. Funkcja [wzór] jest rosnąca i jej wykres przecina oś [wzór] w punkcie [wzór]. D. Funkcja [wzór] jest rosnąca i jej wykres przecina oś [wzór] w punkcie [wzór].
Zadanie 9 – funkcje
Wykresem funkcji kwadratowej [wzór] jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – funkcje
Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej [wzór], a punkt [wzór] należy do wykresu tej funkcji. Współczynnik [wzór] we wzorze tej funkcji jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – ciagi
Dany jest ciąg [wzór] określony wzorem [wzór] dla [wzór]. Ciąg ten jest A. arytmetyczny i jego różnica jest równa [wzór]. B. arytmetyczny i jego różnica jest równa [wzór]. C. geometryczny i jego iloraz jest równy [wzór]. D. geometryczny i jego iloraz jest równy [wzór].
Zadanie 12 – ciagi
Dla ciągu arytmetycznego [wzór], określonego dla [wzór], jest spełniony warunek [wzór]. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – ciagi
Dany jest ciąg geometryczny [wzór], określony dla [wzór], w którym [wzór], [wzór], [wzór]. Wzór na [wzór]-ty wyraz tego ciągu ma postać A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – trygonometria
Przyprostokątna [wzór] trójkąta prostokątnego [wzór] ma długość 3, a przeciwprostokątna [wzór] ma długość 8 (zobacz rysunek). Wtedy miara [wzór] kąta ostrego [wzór] tego trójkąta spełnia warunek A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – planimetria
Dany jest trójkąt o bokach długości: [wzór], [wzór], [wzór]. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości A. 10, 15, 20 B. 20, 45, 80 C. [wzór], [wzór], [wzór] D. [wzór], [wzór], [wzór]
Zadanie 16 – planimetria
Dany jest okrąg o środku [wzór]. Punkty [wzór], [wzór] i [wzór] leżą na tym okręgu. Na łuku [wzór] tego okręgu są oparte kąty [wzór] i [wzór] (zobacz rysunek), których miary [wzór] i [wzór] spełniają warunek [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – planimetria
Dany jest trapez prostokątny [wzór], którego podstawy mają długości [wzór], [wzór], [wzór]. Kąt [wzór] ma miarę [wzór]. Długość ramienia [wzór] tego trapezu jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18 – geometria
Punkt [wzór] jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego [wzór], w którym [wzór]. Odcinek [wzór] jest wysokością trójkąta i [wzór]. Zatem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – geometria
Proste o równaniach [wzór] oraz [wzór] są równoległe, gdy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – stereometria
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat [wzór] o boku długości 4. Wysokością tego ostrosłupa jest krawędź [wzór], a jej długość też jest równa 4 (zobacz rysunek). Kąt [wzór], jaki tworzą krawędzie [wzór] i [wzór], spełnia warunek A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – stereometria
Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości 3 i 4. Kąt [wzór], jaki przekątna tego graniastosłupa tworzy z jego podstawą, jest równy [wzór] (zobacz rysunek). Wysokość graniastosłupa jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – stereometria
Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa [wzór] i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – kombinatoryka
W zestawie [wzór] jest [wzór] liczb ([wzór]), w tym [wzór] liczb 2 i [wzór] liczb 4. Odchylenie standardowe tego zestawu liczb jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – kombinatoryka
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5? A. 402 B. 403 C. 203 D. 204
Zadanie 25 – kombinatoryka
W pudełku jest 50 kuponów, wśród których jest 15 kuponów przegrywających, a pozostałe kupony są wygrywające. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jeden kupon. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kupon wygrywający, jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór].
Zadanie 27 – rownania
Rozwiąż równanie [wzór].
Zadanie 28 – algebra
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich [wzór], [wzór] prawdziwa jest nierówność [wzór]
Zadanie 29 – planimetria
Okręgi o środkach odpowiednio [wzór] i [wzór] są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku [wzór] jest równy 2. Uzasadnij, że promień okręgu o środku [wzór] jest mniejszy od [wzór].
Zadanie 30 – funkcje
Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wzorem [wzór] (gdzie [wzór] i [wzór]), należy punkt [wzór]. Oblicz [wzór] i zapisz zbiór wartości funkcji [wzór], określonej wzorem [wzór].
Zadanie 31 – ciagi
Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego [wzór], określonego dla [wzór], jest równy 30, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Zadanie 32 – geometria
W układzie współrzędnych punkty [wzór] i [wzór] są wierzchołkami trójkąta [wzór]. Wierzchołek [wzór] leży na prostej o równaniu [wzór]. Oblicz współrzędne punktu [wzór], dla którego kąt [wzór] jest prosty.
Zadanie 33 – kombinatoryka
Dane są dwa zbiory: [wzór] i [wzór]. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3. Obliczone prawdopodobieństwo zapisz w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Zadanie 34 – stereometria
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe [wzór]. Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Zadanie 1 – algebra
Dane są liczby: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Prawdziwa jest równość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – rownania
Równanie [wzór] A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie cztery rozwiązania.
Zadanie 3 – algebra
Wartość wyrażenia [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – funkcje
Granica [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – funkcje
Punkt [wzór] jest środkiem symetrii wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem [wzór], gdy [wzór]. Oblicz iloraz [wzór]. W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 6 – pochodne
Styczna do paraboli o równaniu [wzór] w punkcie [wzór] jest nachylona do osi [wzór] pod kątem [wzór]. Oblicz współrzędne punktu [wzór].
Zadanie 7 – planimetria
Trójkąt [wzór] jest ostrokątny oraz [wzór]. Dwusieczna [wzór] kąta [wzór] przecina bok [wzór] w punkcie [wzór]. Punkt [wzór] jest obrazem punktu [wzór] w symetrii osiowej względem dwusiecznej [wzór] kąta [wzór], punkt [wzór] jest obrazem punktu [wzór] w symetrii osiowej względem dwusiecznej [wzór] kąta [wzór], a punkt [wzór] jest obrazem punktu [wzór] w symetrii osiowej względem dwusiecznej [wzór] kąta [wzór] (zobacz rysunek). Udowodnij, że na czworokącie [wzór] można opisać okrąg.
Zadanie 8 – algebra
Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej [wzór] i dla każdej liczby całkowitej [wzór] liczba [wzór] jest podzielna przez 6.
Zadanie 9 – kombinatoryka
Z liczb ośmioelementowego zbioru [wzór] tworzymy ośmiowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami utworzonego ciągu. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Zadanie 10 – stereometria
Objętość stożka ściętego (przedstawionego na rysunku) można obliczyć ze wzoru [wzór], gdzie [wzór] i [wzór] są promieniami podstaw ([wzór]), a [wzór] jest wysokością bryły. Dany jest stożek ścięty, którego wysokość jest równa 10, objętość [wzór], a [wzór]. Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej przekroju osiowego tej bryły do jednej z jej podstaw.
Zadanie 11 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] w przedziale [wzór].
Zadanie 12 – rownania
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których równanie [wzór] ma dwa rozwiązania rzeczywiste [wzór] i [wzór] ([wzór]), spełniające warunek [wzór].
Zadanie 13 – ciagi
Wyrazy ciągu geometrycznego [wzór], określonego dla [wzór], spełniają układ równań [wzór] Wyznacz liczbę [wzór] początkowych wyrazów tego ciągu, których suma [wzór] jest równa 32769.
Zadanie 14 – geometria
Punkt [wzór] jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego [wzór], w którym [wzór]. Obie współrzędne wierzchołka [wzór] są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt [wzór] ma równanie [wzór]. Oblicz współrzędne wierzchołków [wzór] i [wzór] tego trójkąta.
Zadanie 15 – planimetria
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w które można wpisać okrąg, spełniające warunek: suma długości dłuższej podstawy [wzór] i wysokości trapezu jest równa 2. a) Wyznacz wszystkie wartości [wzór], dla których istnieje trapez o podanych własnościach. b) Wykaż, że obwód [wzór] takiego trapezu, jako funkcja długości [wzór] dłuższej podstawy trapezu, wyraża się wzorem [wzór]. c) Oblicz tangens kąta ostrego tego spośród rozpatrywanych trapezów, którego obwód jest najmniejszy.
Zadanie 1 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Liczba naturalna [wzór] w zapisie dziesiętnym ma A. 14 cyfr B. 15 cyfr C. 16 cyfr D. 30 cyfr
Zadanie 3 – algebra
W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o A. 1% B. 25% C. 33% D. 75%
Zadanie 4 – rownania
Równość [wzór] jest prawdziwa dla A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – rownania
Para liczb [wzór] i [wzór] jest rozwiązaniem układu równań [wzór] dla A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – rownania
Równanie [wzór] A. ma trzy różne rozwiązania: [wzór], [wzór], [wzór]. B. ma trzy różne rozwiązania: [wzór], [wzór], [wzór]. C. ma dwa różne rozwiązania: [wzór], [wzór]. D. ma dwa różne rozwiązania: [wzór], [wzór].
Zadanie 7 – funkcje
Miejscem zerowym funkcji liniowej [wzór] określonej wzorem [wzór] jest liczba A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 8 – funkcje
Informacja do zadań 8.–10. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej [wzór]. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt [wzór]. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji [wzór]. Zbiorem wartości funkcji [wzór] jest przedział A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – funkcje
Największa wartość funkcji [wzór] w przedziale [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – funkcje
Osią symetrii wykresu funkcji [wzór] jest prosta o równaniu A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – ciagi
W ciągu arytmetycznym [wzór], określonym dla [wzór], dane są dwa wyrazy: [wzór] i [wzór]. Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – ciagi
Dany jest ciąg geometryczny [wzór], określony dla [wzór]. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek [wzór]. Iloraz tego ciągu jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – trygonometria
Sinus kąta ostrego [wzór] jest równy [wzór]. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – planimetria
Punkty [wzór] i [wzór] leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym [wzór] (zobacz rysunek). Odcinek [wzór] jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany [wzór] ma miarę [wzór]. Zatem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – planimetria
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie [wzór] i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie [wzór] i promieniu 3. Odcinek [wzór] ma długość 16. Prosta [wzór] jest styczna do tych okręgów w punktach [wzór] i [wzór]. Ponadto prosta [wzór] przecina odcinek [wzór] w punkcie [wzór] (zobacz rysunek). Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – planimetria
Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym [wzór]. Pole tego rombu jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – geometria
Proste o równaniach [wzór] oraz [wzór] są równoległe, gdy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18 – geometria
Prosta o równaniu [wzór] jest prostopadła do prostej o równaniu [wzór] i przechodzi przez punkt [wzór], gdy A. [wzór] i [wzór] B. [wzór] i [wzór] C. [wzór] i [wzór] D. [wzór] i [wzór]
Zadanie 19 – geometria
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej [wzór]. Na wykresie tej funkcji leżą punkty [wzór] i [wzór]. Obrazem prostej [wzór] w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji [wzór] określonej wzorem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – geometria
Dane są punkty o współrzędnych [wzór] oraz [wzór]. Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – stereometria
Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary 5 dm × 3 dm × 2 dm (zobacz rysunek). Przekątna [wzór] tego prostopadłościanu jest – z dokładnością do 0,01 dm – równa A. 5,83 dm B. 6,16 dm C. 3,61 dm D. 5,39 dm
Zadanie 22 – stereometria
Promień kuli i promień podstawy stożka są równe 4. Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – kombinatoryka
Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, [wzór], 16, 25, jest równa 14. Zatem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – kombinatoryka
Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest A. 12 B. 36 C. 162 D. 243
Zadanie 25 – kombinatoryka
W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – rownania
Rozwiąż równanie [wzór].
Zadanie 27 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór].
Zadanie 28 – algebra
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych [wzór] i [wzór] prawdziwa jest nierówność [wzór]
Zadanie 29 – planimetria
Dany jest okrąg o środku w punkcie [wzór] i promieniu [wzór]. Na przedłużeniu cięciwy [wzór] poza punkt [wzór] odłożono odcinek [wzór] równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty [wzór] i [wzór] poprowadzono prostą. Prosta [wzór] przecina dany okrąg w punktach [wzór] i [wzór] (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta [wzór] jest równa [wzór], to miara kąta [wzór] jest równa [wzór].
Zadanie 30 – kombinatoryka
Ze zbioru liczb [wzór] losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą.
Zadanie 31 – planimetria
W trapezie prostokątnym [wzór] dłuższa podstawa [wzór] ma długość 8. Przekątna [wzór] tego trapezu ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze [wzór] (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej [wzór] tego trapezu.
Zadanie 32 – ciagi
Ciąg arytmetyczny [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Różnicą tego ciągu jest liczba [wzór], a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], jest równa 16. a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. b) Oblicz liczbę [wzór], dla której [wzór].
Zadanie 33 – geometria
Dany jest punkt [wzór]. Prosta o równaniu [wzór] jest symetralną odcinka [wzór]. Wyznacz współrzędne punktu [wzór].
Zadanie 34 – stereometria
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt [wzór] jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta [wzór].
Zadanie 1 – algebra
Dla dowolnych liczb [wzór], [wzór], [wzór], [wzór] wartość wyrażenia [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – trygonometria
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – funkcje
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji [wzór], który jest złożony z dwóch półprostych [wzór] i [wzór] oraz dwóch odcinków [wzór] i [wzór], gdzie [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór]. Wzór funkcji [wzór] to A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – kombinatoryka
Zdarzenia losowe [wzór] i [wzór] zawarte w [wzór] są takie, że prawdopodobieństwo [wzór] zdarzenia [wzór], przeciwnego do zdarzenia [wzór], jest równe [wzór]. Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – ciagi
Oblicz granicę [wzór] Wpisz w poniższe kratki – od lewej do prawej – trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 6 – kombinatoryka
Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.
Zadanie 7 – pochodne
Punkt [wzór] leży na paraboli o równaniu [wzór]. Prosta o równaniu kierunkowym [wzór] jest styczna do tej paraboli w punkcie [wzór]. Oblicz współczynnik [wzór].
Zadanie 8 – algebra
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych [wzór] i [wzór], takich że [wzór], i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej [wzór], prawdziwa jest nierówność [wzór].
Zadanie 9 – planimetria
Dany jest trójkąt równoramienny [wzór], w którym [wzór]. Na ramieniu [wzór] tego trójkąta wybrano punkt [wzór] ([wzór] i [wzór]), a na ramieniu [wzór] wybrano punkt [wzór], w taki sposób, że [wzór]. Przez punkty [wzór] i [wzór] poprowadzono proste prostopadłe do podstawy [wzór] tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty [wzór] i [wzór]. Udowodnij, że [wzór].
Zadanie 10 – planimetria
Punkt [wzór] leży na boku [wzór] trójkąta [wzór] oraz [wzór], [wzór], [wzór] i [wzór]. Oblicz obwód trójkąta [wzór].
Zadanie 11 – geometria
Dane są okręgi o równaniach [wzór] i [wzór]. Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.
Zadanie 12 – ciagi
Trzywyrazowy ciąg [wzór] o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg [wzór] jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
Zadanie 13 – rownania
Wielomian określony wzorem [wzór] jest podzielny przez dwumian [wzór] oraz przy dzieleniu przez dwumian [wzór] daje resztę 6. Oblicz [wzór] i dla wyznaczonej wartości [wzór] rozwiąż nierówność [wzór].
Zadanie 14 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór].
Zadanie 15 – rachunek różniczkowy
Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości [wzór]. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Zadanie 1 – algebra
Wartość wyrażenia [wzór] dla [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Cenę [wzór] pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę [wzór]. Aby przywrócić cenę [wzór], nową cenę [wzór] należy podnieść o A. 25% B. 20% C. 15% D. 12%
Zadanie 5 – rownania
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – rownania
Suma wszystkich rozwiązań równania [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – funkcje
Informacja do zadań 7.–9. Funkcja kwadratowa [wzór] jest określona wzorem [wzór]. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt [wzór]. Współczynnik [wzór] we wzorze funkcji [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 8 – funkcje
Największa wartość funkcji [wzór] w przedziale [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – funkcje
Osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji [wzór] jest prosta o równaniu A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – rownania
Równanie [wzór] w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: [wzór]. D. ma dwa różne rozwiązania: [wzór] i [wzór].
Zadanie 11 – funkcje
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej [wzór] określonej wzorem [wzór]. Współczynniki [wzór] oraz [wzór] we wzorze funkcji [wzór] spełniają zależność A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – geometria
Proste o równaniach [wzór] oraz [wzór] są równoległe. Wtedy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla [wzór]. Różnica [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – ciagi
W ciągu arytmetycznym [wzór], określonym dla [wzór], czwarty wyraz jest równy 3, a różnica tego ciągu jest równa 5. Suma [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – funkcje
Punkt [wzór] należy do wykresu funkcji liniowej [wzór] określonej wzorem [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – planimetria
Punkty [wzór], [wzór], [wzór], [wzór] leżą na okręgu o środku w punkcie [wzór]. Kąt środkowy [wzór] ma miarę [wzór] (zobacz rysunek). Miara kąta [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18 – geometria
Prosta przechodząca przez punkty [wzór] i [wzór] jest określona równaniem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – trygonometria
Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych [wzór] i [wzór] (zobacz rysunek). Wyrażenie [wzór] jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – geometria
Punkt [wzór] jest obrazem punktu [wzór] w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – kombinatoryka
Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których cyfry się nie powtarzają? A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – planimetria
Pole prostokąta [wzór] jest równe 90. Na bokach [wzór] i [wzór] wybrano – odpowiednio – punkty [wzór] i [wzór], takie, że [wzór] (zobacz rysunek). Pole czworokąta [wzór] jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – kombinatoryka
Cztery liczby: 2, 3, [wzór], 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – stereometria
Przekątna sześcianu ma długość [wzór]. Pole powierzchni tego sześcianu jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – stereometria
Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy [wzór]. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa [wzór]. Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – rownania
Rozwiąż nierówność [wzór].
Zadanie 27 – rownania
Rozwiąż równanie [wzór].
Zadanie 28 – algebra
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych [wzór] i [wzór] prawdziwa jest nierówność [wzór]
Zadanie 29 – planimetria
Trójkąt [wzór] jest równoboczny. Punkt [wzór] leży na wysokości [wzór] tego trójkąta oraz [wzór]. Punkt [wzór] leży na boku [wzór] i odcinek [wzór] jest prostopadły do [wzór] (zobacz rysunek). Wykaż, że [wzór].
Zadanie 30 – kombinatoryka
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.
Zadanie 31 – trygonometria
Kąt [wzór] jest ostry i spełnia warunek [wzór]. Oblicz tangens kąta [wzór].
Zadanie 32 – geometria
Dany jest kwadrat [wzór], w którym [wzór]. Przekątna [wzór] tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu [wzór]. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych [wzór] i [wzór] oraz pole kwadratu [wzór].
Zadanie 33 – ciagi
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego [wzór], określonego dla [wzór], są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek [wzór]. Oblicz iloraz [wzór] tego ciągu należący do przedziału [wzór].
Zadanie 34 – stereometria
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny [wzór], którego krawędź boczna ma długość 6 (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy [wzór]. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 1 – algebra
Wielomian [wzór] określony wzorem [wzór] A. jest podzielny przez [wzór] i z dzielenia przez [wzór] daje resztę równą [wzór]. B. jest podzielny przez [wzór] i z dzielenia przez [wzór] daje resztę równą [wzór]. C. jest podzielny przez [wzór] i jest podzielny przez [wzór]. D. nie jest podzielny ani przez [wzór], ani przez [wzór].
Zadanie 2 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Granica tego ciągu jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – kombinatoryka
Mamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała i 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – losujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Po przekształceniu wyrażenia algebraicznego [wzór] do postaci [wzór] współczynnik [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – trygonometria
W trójkącie [wzór] bok [wzór] jest [wzór] razy dłuższy od boku [wzór], a długość boku [wzór] stanowi [wzór] długości boku [wzór]. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta [wzór]. W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 6 – rownania
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których równanie [wzór] ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Zadanie 7 – planimetria
Dany jest trójkąt równoramienny [wzór], w którym [wzór], a punkt [wzór] jest środkiem podstawy [wzór]. Okrąg o środku [wzór] jest styczny do prostej [wzór] w punkcie [wzór]. Punkt [wzór] leży na boku [wzór], punkt [wzór] leży na boku [wzór], odcinek [wzór] jest styczny do rozważanego okręgu oraz [wzór] (zobacz rysunek). Wykaż, że [wzór].
Zadanie 8 – algebra
Liczby dodatnie [wzór] i [wzór] spełniają równość [wzór]. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 9 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] dla [wzór].
Zadanie 10 – ciagi
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym [wzór] spełniona jest równość [wzór]. Wyrazy [wzór], [wzór], [wzór] są – odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz [wzór].
Zadanie 11 – rownania
Dane jest równanie kwadratowe [wzór] z niewiadomą [wzór]. Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których różne rozwiązania [wzór] i [wzór] tego równania istnieją i spełniają warunek [wzór]
Zadanie 12 – geometria
Prosta o równaniu [wzór] przecina okrąg o równaniu [wzór] w punktach [wzór] i [wzór]. Punkt [wzór] jest środkiem cięciwy [wzór]. Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku [wzór] i skali [wzór].
Zadanie 13 – kombinatoryka
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.
Zadanie 14 – stereometria
Podstawą ostrosłupa czworokątnego [wzór] jest trapez [wzór] ([wzór]). Ramiona tego trapezu mają długości [wzór] i [wzór], a miara kąta [wzór] jest równa [wzór]. Każda ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt [wzór], taki, że [wzór]. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 15 – pochodne
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię [wzór]. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
Zadanie 1 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Liczba [wzór] stanowi [wzór] liczby [wzór]. Wtedy liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Rozważamy przedziały liczbowe [wzór] i [wzór]. Ile jest wszystkich liczb całkowitych, które należą jednocześnie do obu rozważanych przedziałów? A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Suma [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – algebra
Różnica [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – rownania
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 7 – funkcje
Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji [wzór] określonej w zbiorze [wzór]. Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla [wzór]. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Liczba [wzór] jest równa [wzór]. B. Zbiory wartości funkcji [wzór] i [wzór] są równe. C. Funkcje [wzór] i [wzór] mają te same miejsca zerowe. D. Punkt [wzór] należy do wykresów funkcji [wzór] i [wzór].
Zadanie 8 – funkcje
Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku. A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – geometria
Proste o równaniach [wzór] oraz [wzór] są równoległe, gdy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – funkcje
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Wtedy dla argumentu [wzór] wartość funkcji [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – funkcje
Do wykresu funkcji [wzór] określonej dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] wzorem [wzór] należy punkt o współrzędnych A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – funkcje
Funkcja kwadratowa [wzór] określona wzorem [wzór] jest malejąca w przedziale A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – ciagi
Trzywyrazowy ciąg [wzór] jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Liczba niedodatnich wyrazów ciągu [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – ciagi
Ciąg arytmetyczny [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek [wzór]. Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – trygonometria
Dla każdego kąta ostrego [wzór] iloczyn [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – planimetria
Prosta [wzór] jest styczna w punkcie [wzór] do okręgu o środku [wzór]. Punkt [wzór] leży na tym okręgu i miara kąta [wzór] jest równa [wzór]. Przez punkty [wzór] i [wzór] poprowadzono prostą, która przecina prostą [wzór] w punkcie [wzór] (zobacz rysunek). Miara kąta [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18 – trygonometria
Przyprostokątna [wzór] trójkąta prostokątnego [wzór] ma długość [wzór] oraz [wzór] (zobacz rysunek). Pole tego trójkąta jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – planimetria
Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe [wzór]. Obwód tego trójkąta jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
W trójkącie [wzór] bok [wzór] ma długość [wzór], a wysokość [wzór] tego trójkąta dzieli bok [wzór] na odcinki o długościach [wzór] i [wzór] (zobacz rysunek obok). Długość boku [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – planimetria
Punkty [wzór], [wzór], [wzór] i [wzór] leżą na okręgu o środku [wzór]. Miary kątów [wzór], [wzór], [wzór] są równe odpowiednio: [wzór], [wzór], [wzór] (zobacz rysunek). Wynika stąd, że miara [wzór] kąta [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – planimetria
W równoległoboku [wzór], przedstawionym na rysunku, kąt [wzór] ma miarę [wzór]. Wtedy kąt [wzór] ma miarę A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 23 – planimetria
W każdym [wzór]–kącie wypukłym ([wzór]) liczba przekątnych jest równa [wzór]. Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o [wzór] większa od liczby boków, jest A. siedmiokąt. B. dziesięciokąt. C. dwunastokąt. D. piętnastokąt.
Zadanie 24 – planimetria
Pole figury [wzór] złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach [wzór] i [wzór] jest równe polu figury [wzór] złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości [wzór] (zobacz rysunek). Długość [wzór] promienia jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – geometria
Punkt [wzór] jest wierzchołkiem kwadratu [wzór], a punkt [wzór] jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu [wzór] jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 26 – kombinatoryka
Z wierzchołków sześcianu [wzór] losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu [wzór], jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 27 – kombinatoryka
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, większych od [wzór], w których każda cyfra należy do zbioru [wzór] i żadna cyfra się nie powtarza, jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 28 – algebra
Sześciowyrazowy ciąg liczbowy [wzór] jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – rownania
Rozwiąż nierówność: [wzór] Odpowiedź: ...
Zadanie 30 – algebra
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb [wzór], [wzór] i [wzór] takich, że [wzór], spełniona jest nierówność [wzór]
Zadanie 31 – funkcje
Funkcja liniowa [wzór] przyjmuje wartość [wzór] dla argumentu [wzór], a ponadto [wzór]. Wyznacz wzór funkcji [wzór]. Odpowiedź: ...
Zadanie 32 – rownania
Rozwiąż równanie: [wzór] Odpowiedź: ...
Zadanie 33 – planimetria
Trójkąt równoboczny [wzór] ma pole równe [wzór]. Prosta równoległa do boku [wzór] przecina boki [wzór] i [wzór] – odpowiednio – w punktach [wzór] i [wzór]. Trójkąty [wzór] i [wzór] są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy [wzór]. Oblicz długość boku trójkąta [wzór]. Odpowiedź: ...
Zadanie 34 – kombinatoryka
Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór] polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa [wzór] lub [wzór], lub [wzór]. Odpowiedź: ...
Zadanie 35 – geometria
Punkty [wzór] i [wzór] są wierzchołkami trójkąta równoramiennego [wzór], w którym [wzór]. Wierzchołek [wzór] leży na osi [wzór] układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka [wzór] oraz obwód tego trójkąta. Odpowiedź: ...
Zadanie 1 – trygonometria
Różnica [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – funkcje
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji [wzór] określonej dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji [wzór]. A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Wielomian [wzór] jest podzielny przez A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – rownania
Liczba różnych pierwiastków równania [wzór] jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Zadanie 5 – ciagi
Oblicz granicę [wzór]. W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 6 – algebra
Niech [wzór]. Wykaż, że [wzór].
Zadanie 7 – rownania
Rozwiąż nierówność: [wzór]
Zadanie 8 – planimetria
Dany jest trójkąt równoboczny [wzór]. Na bokach [wzór] i [wzór] wybrano punkty – odpowiednio – [wzór] i [wzór] takie, że [wzór]. Odcinki [wzór] i [wzór] przecinają się w punkcie [wzór] (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta [wzór] jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta [wzór].
Zadanie 9 – kombinatoryka
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.
Zadanie 10 – geometria
Prosta przechodząca przez punkty [wzór] i [wzór] jest styczna do okręgu o środku w punkcie [wzór]. Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą [wzór].
Zadanie 11 – funkcje
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których trójmian kwadratowy [wzór] ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste [wzór] oraz [wzór], spełniające warunki: [wzór]
Zadanie 12 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] w przedziale [wzór].
Zadanie 13 – planimetria
Dany jest trójkąt prostokątny [wzór]. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta [wzór], który ma większą miarę.
Zadanie 14 – geometria
Dane są parabola o równaniu [wzór] oraz punkty [wzór] i [wzór] (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty [wzór], których wierzchołek [wzór] leży na tej paraboli. Niech [wzór] oznacza pierwszą współrzędną punktu [wzór]. a) Wyznacz pole [wzór] trójkąta [wzór] jako funkcję zmiennej [wzór]. b) Wyznacz wszystkie wartości [wzór], dla których trójkąt [wzór] jest ostrokątny.
Zadanie 15 – pochodne
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności [wzór]. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób: – 100 zł za [wzór] dna – 75 zł za [wzór] ściany bocznej. Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.
Zadanie 1 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – algebra
Dodatnie liczby [wzór] i [wzór] spełniają warunek [wzór]. Wynika stąd, że wartość wyrażenia [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – algebra
Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o [wzór] w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa [wzór] zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do [wzór] zł, równa A. [wzór] zł B. [wzór] zł C. [wzór] zł D. [wzór] zł
Zadanie 5 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 6 – rownania
Rozwiązaniem układu równań [wzór] jest para liczb: [wzór], [wzór]. Wtedy A. [wzór] i [wzór] B. [wzór] i [wzór] C. [wzór] i [wzór] D. [wzór] i [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności [wzór] jest przedział A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 8 – rownania
Iloczyn wszystkich rozwiązań równania [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 9 – funkcje
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji [wzór]. Iloczyn [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 10 – funkcje
Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji [wzór] określonej na zbiorze [wzór]. Funkcję [wzór] określono za pomocą funkcji [wzór]. Wykres funkcji [wzór] przedstawiono na rysunku 2. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 11 – funkcje
Miejscem zerowym funkcji liniowej [wzór] określonej wzorem [wzór] jest liczba A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 12 – funkcje
Wykresem funkcji kwadratowej [wzór] jest parabola o wierzchołku w punkcie [wzór]. Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 13 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony wzorem [wzór] dla każdej liczby naturalnej [wzór]. Wtedy [wzór] jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 14 – ciagi
W ciągu arytmetycznym [wzór], określonym dla każdej liczby naturalnej [wzór], [wzór] oraz [wzór]. Różnica tego ciągu jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 15 – ciagi
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego [wzór], określonego dla każdej liczby naturalnej [wzór], są dodatnie i [wzór]. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 16 – trygonometria
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 17 – planimetria
Punkty [wzór] leżą na okręgu o środku [wzór]. Punkt [wzór] jest punktem przecięcia cięciwy [wzór] i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu [wzór]. Miara kąta [wzór] jest równa [wzór], a miara kąta [wzór] jest równa [wzór] (zobacz rysunek). Wtedy kąt [wzór] ma miarę A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 18 – planimetria
Punkty [wzór] leżą na okręgu o środku [wzór] i promieniu [wzór]. Czworokąt [wzór] jest rombem, w którym kąt ostry [wzór] ma miarę [wzór] (zobacz rysunek). Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 19 – planimetria
Wysokość trójkąta równobocznego jest równa [wzór]. Pole tego trójkąta jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 20 – planimetria
Boki równoległoboku mają długości [wzór] i [wzór], a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę [wzór]. Pole tego równoległoboku jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 21 – geometria
Punkty [wzór] oraz [wzór] leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy [wzór] jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 22 – geometria
Dane są cztery proste [wzór] o równaniach: [wzór] [wzór] [wzór] [wzór] Wśród tych prostych prostopadłe są A. proste [wzór] oraz [wzór]. B. proste [wzór] oraz [wzór]. C. proste [wzór] oraz [wzór]. D. proste [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 23 – geometria
Punkty [wzór] i [wzór] są końcami odcinka [wzór]. Pierwsza współrzędna środka odcinka [wzór] jest równa [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 24 – geometria
Punkty [wzór] i [wzór] są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu [wzór]. Przekątna tego kwadratu ma długość A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 25 – stereometria
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości [wzór] cm i [wzór] cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o [wzór] cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa A. [wzór] cm[wzór] B. [wzór] cm[wzór] C. [wzór] cm[wzór] D. [wzór] cm[wzór]
Zadanie 26 – stereometria
Dany jest sześcian [wzór] o krawędzi długości [wzór]. Punkty [wzór] są wierzchołkami ostrosłupa [wzór] (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa [wzór] jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 27 – kombinatoryka
Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez [wzór] jest A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 28 – kombinatoryka
Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], [wzór], jest równa [wzór]. Wynika stąd, że A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 29 – rownania
Rozwiąż nierówność: [wzór]
Zadanie 30 – ciagi
W ciągu arytmetycznym [wzór], określonym dla każdej liczby naturalnej [wzór], [wzór] i [wzór]. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 31 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] i każdej liczby rzeczywistej [wzór] takich, że [wzór], spełniona jest nierówność [wzór]
Zadanie 32 – trygonometria
Kąt [wzór] jest ostry i [wzór]. Oblicz wartość wyrażenia [wzór].
Zadanie 33 – planimetria
Dany jest trójkąt równoramienny [wzór], w którym [wzór]. Dwusieczna kąta [wzór] przecina bok [wzór] w takim punkcie [wzór], że trójkąty [wzór] i [wzór] są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta [wzór].
Zadanie 34 – kombinatoryka
Ze zbioru dziewięcioelementowego [wzór] losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie [wzór] polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru [wzór], których iloczyn jest równy [wzór]. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia [wzór].
Zadanie 35 – funkcje
Wykres funkcji kwadratowej [wzór] określonej wzorem [wzór] ma z prostą o równaniu [wzór] dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty [wzór] i [wzór] należą do wykresu funkcji [wzór]. Oblicz wartości współczynników [wzór], [wzór] oraz [wzór].
Zadanie 1 – algebra
Liczba [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 2 – pochodne
Funkcja [wzór] jest określona wzorem [wzór] dla każdej liczby rzeczywistej [wzór]. Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 3 – trygonometria
Jeżeli [wzór] i [wzór], to wartość wyrażenia [wzór] jest równa A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 4 – kombinatoryka
Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe A. [wzór] B. [wzór] C. [wzór] D. [wzór]
Zadanie 5 – ciagi
Ciąg [wzór] jest określony dla każdej liczby naturalnej [wzór] wzorem [wzór], gdzie [wzór] jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość [wzór], dla której granica ciągu [wzór] jest równa [wzór]. W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 6 – algebra
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] i dla każdej liczby rzeczywistej [wzór] takich, że [wzór], spełniona jest nierówność [wzór]
Zadanie 7 – rownania
Rozwiąż równanie: [wzór]
Zadanie 8 – planimetria
Punkt [wzór] jest punktem przecięcia przekątnych trapezu [wzór]. Długość podstawy [wzór] jest o [wzór] mniejsza od długości podstawy [wzór]. Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym [wzór] jest o [wzór] mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie [wzór]. Wykaż, że spełniony jest warunek [wzór].
Zadanie 9 – rownania
Reszta z dzielenia wielomianu [wzór] przez dwumian [wzór] jest równa [wzór]. Oblicz [wzór] i dla wyznaczonej wartości [wzór] rozwiąż nierówność [wzór].
Zadanie 10 – ciagi
Ciąg [wzór], określony dla każdej liczby naturalnej [wzór], jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto [wzór] i [wzór]. Ciąg [wzór], określony dla każdej liczby naturalnej [wzór], jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu [wzór] jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu [wzór]. Ponadto [wzór]. Oblicz [wzór].
Zadanie 11 – trygonometria
Rozwiąż równanie [wzór] w przedziale [wzór].
Zadanie 12 – rownania
Wyznacz wszystkie wartości parametru [wzór], dla których równanie [wzór] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste [wzór] oraz [wzór], spełniające warunki: [wzór]
Zadanie 13 – stereometria
Dany jest graniastosłup prosty [wzór] o podstawie prostokątnej [wzór]. Przekątne [wzór] i [wzór] ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze [wzór] takiej, że [wzór] (zobacz rysunek). Pole trójkąta [wzór] jest równe [wzór]. Oblicz wysokość [wzór] tego graniastosłupa.
Zadanie 14 – geometria
Punkt [wzór] jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego [wzór], w którym [wzór]. Pole tego trójkąta jest równe [wzór]. Bok [wzór] zawarty jest w prostej o równaniu [wzór]. Oblicz współrzędne wierzchołków [wzór] i [wzór] tego trójkąta.
Zadanie 15 – pochodne
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym [wzór]. a) Wykaż, że pole [wzór] każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości [wzór] ramienia, wyraża się wzorem [wzór]. b) Wyznacz dziedzinę funkcji [wzór]. c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.